Теория дифференциальных уравнений: определения и понятия

Определения и понятия теории дифференциальных уравнений

    С этой темы мы рекомендуем начинать изучение теории дифференциальных уравнений. В одном разделе мы собрали все основные термины и определения, которые будут применяться при рассмотрении теоретической части. Для того, чтобы облегчить усвоение материала, мы приводим многочисленные примеры.

    Дифференциальное уравнение

    Определение 1

    Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком производной или дифференциала.

    Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию, которая является функцией одной переменной. Если же переменных несколько, то мы имеем дело с уравнением в частных производных.

    Имеет значение также порядок дифференциального уравнения, за который принимают максимальный порядок производной неизвестной функции дифференциального уравнения.

    Пример 1

    Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го, 2-го и 5-го порядков:

    1) y'+1=0;2) d2ydx2+y=x·sinx;3)y(5)+y(3)=a·y, αR

    Пример 2

    Уравнения в частных производных 2-го порядка:

    1) 2ut2=v2·2ux2+2uy2+2uz2, u=u(x,y,z,t), vR;2) 2ux2-2uy2=0, u=u(x,y)

    С порядками ДУ разобрались. Далее мы будем в основном рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения n-ого порядка вида F(x,y,y',y'',...,y(n))=0 или Fx,y,dydx,d2ydx2,...,dnydxn=0, в которых Ф(x, y) = 0  - это заданная неявно функция. В тех случаях, когда это будет возможно, неявную функцию мы будем записывать в ее явном представлении y = f(x).

    Интегрирование дифференциального уравнения

    Определение 2

    Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.

    Решением дифференциального уравнения является функция Ф(x, y)=0, которая задана неявно и которая обращает данное уравнение в тождество. В некоторых случаях нам нужно будет неявно заданную функцию у  выражать через аргумент х  явно.

    Искать решение дифференциального уравнения мы всегда будем на интервале Х, который задается заранее.

    В каких случаях мы будем учитывать интервал Х ? Обычно в условии задач он не упоминается. В этих случаях мы буде искать решение уравнения F(x,y,y',y'',...,y(n)) для всех х, при которых искомая функция у и исходное уравнение будут иметь смысл.

    Определение 3

    Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.

    Пример 3

    Функции y=xdx или y=x22+1 можно назвать решением дифференциального уравнения y'=x.

    У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.

    Пример 4

    Функция y=x33 является решением ДУ y'=x2. Если мы подставим полученную функцию в исходное выражение, то получим тождество y'=x33=13·3x2=x2.

    Вторым решением данного дифференциального уравнения является y=x33+1. Подстановка полученной функции в уравнение также превращает его в тождество.

    Общее решение ДУ

    Определение 4

    Общее решение ДУ – это все множество решений данного дифференциального уравнения.

    Также общее решение часто носит название общего интеграла ДУ.

    Пример 5

    Общее решение дифференциального уравнения y'=x2 имеет вид y=x2dx или y=x33+C, где C – произвольная постоянная. Из общего интеграла ДУ y=x33+C мы можем прийти к двум решениям, которые мы привели в прошлом примере. Для этого нам нужно подставить значения С=0 и C=1.

    Частное решение ДУ

    Определение 5

    Частное решение ДУ – это такое решение, которое удовлетворяет условиям, заданным изначально.

    Пример 6

    Для ДУ y'=x2 частным решением, которое будет удовлетворять условию y(1)=1, будет y=x33+23. Действительно, y'=x33+23'=x2 и y(1)=133+23=1.

    К числу основных задач из теории дифференциальных уравнений относятся:

    • задачи Коши;
    • задачи нахождения общего решения ДУ при заданном интервале Х;
    • краевые задачи.

    Особенностью задач Коши является наличие начальных условий, которым должно удовлетворять полученное частное решение ДУ. Начальные условия задаются следующим образом:

    f(x0)=f0; f'(x0)=f1;f''(x0)=f2;...;f(n-1)(x0)=fn-1

    где f0; f1; f2; ...; fn-1 - это некоторые числа.

    Особенностью краевых задач является наличие дополнительных условий в граничных точках x0 и x1, которым должно удовлетворять решение ДУ второго порядка: f(x0)=f0, f(x1)=f1 , где f0 и f1 - заданные числа. Такие задачи также часто называют граничными задачами.

    Линейное обыкновенное ДУ n-ого порядка имеет вид:

    fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+...+f1(x)·y'+f0(x)·y=f(x)

    При этом коэффициенты f0(x); f1(x); f2(x); ...; fn(x) - это непрерывные функции аргумента х на интервале интегрирования.

    Уравнение fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+...+f1(x)·y'+f0(x)·y=f(x) будет называться линейным однородным дифференциальным уравнением в том случае, если f(x)0. Если нет, то мы будем иметь дело с линейным неоднородным ДУ.

    В линейных однородных ДУ коэффициенты f0(x)=f0; f1(x)=f1; f2(x)=f2; ...; fn(x)=fn  могут быть постоянными функциями (некоторыми числами), то мы будем говорить о ЛОДУ с постоянными коэффициентами или ЛНДУ с постоянными коэффициентами. В ЛОДУ с постоянными коэффициентами f(x)0, в ЛНДУ с постоянными коэффициентами f(x) ненулевая.

    Характеристическое уравнение ЛНДУ n-ой степени с постоянными коэффициентами

    Определение 6

    Характеристическое уравнение ЛНДУ n-ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение n-ой степени вида fn·kn+fn-1·kn-1+...+f1·k+f0=0.

    Остальные определения мы будем разбирать в других темах по мере изучения теории.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,9 из 5 (10 голосов)