Системы дифференциальных уравнений: примеры, решение

Системы дифференциальных уравнений

    Этот раздел мы решили посвятить решению систем дифференциальных уравнений простейшего вида dxdt=a1x+b1y+c1dydt=a2x+b2y+c2, в которых a1, b1, c1, a2, b2, c2 - некоторые действительные числа. Наиболее эффективным для решения таких систем уравнений является метод интегрирования. Также рассмотрим решение примера по теме.

    Решением системы дифференциальных уравнений будет являться пара функций x(t) и y(t), которая способна обратить в тождество оба уравнения системы.

    Рассмотрим метод интегрирования системы ДУ dxdt=a1x+b1y+c1dydt=a2x+b2y+c2. Выразим х из 2-го уравнения системы для того, чтобы исключить неизвестную функцию x(t) из 1-го уравнения:

    dydt=a2x+b2y+c2x=1a2dydt-b2y-c2

    Выполним дифференцирование 2-го уравнения по t и разрешим его уравнение относительно dxdt:

    d2ydt2=a2dxdt+b2dydtdxdt=1a2d2ydt2-b2dydt

    Теперь подставим результат предыдущих вычислений в 1-е уравнение системы:

    dxdt=a1x+b1y+c11a2d2ydt2-b2dydt=a1a2dydt-b2y-c2+b1y+c1d2ydt2-(a1+b2)·dydt+(a1·b2-a2·b1)·y=a2·c1-a1·c2

    Так мы исключили неизвестную функцию x(t) и получили линейное неоднородное ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Найдем решение этого уравнения y(t) и подставим его во 2-е уравнение системы. Найдем x(t). Будем считать, что на этом решение системы уравнений будет закончено.

    Пример 1

    Найдите решение системы дифференциальных уравнений dxdt=x-1dydt=x+2y-3

    Решение

    Начнем с первого уравнения системы. Разрешим его относительно x:

    x=dydt-2y+3

    Теперь выполним дифференцирование 2-го уравнения системы, после чего разрешим его относительно dxdt: d2ydt2=dxdt+2dydtdxdt=d2ydt2-2dydt

    Полученный в ходе вычислений результат мы можем подставить в 1-е уравнение системы ДУ:

    dxdt=x-1d2ydt2-2dydt=dydt-2y+3-1d2ydt2-3dydt+2y=2

    В результате преобразований мы получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами d2ydt2-3dydt+2y=2. Если мы найдем его общее решение, то получим функцию y(t).

    Общее решение соответствующего ЛОДУ y0 мы можем найти путем вычислений корней характеристического уравнения k2-3k+2=0:

    D=32-4·2=1k1=3-12=1k2=3+12=2

    Корни, которые мы получили, являются действительными и различными. В связи с этим общее решение ЛОДУ будет иметь вид y0=C1·et+C2·e2t.

    Теперь найдем частное решение линейного неоднородного ДУ y~:

    d2ydt2-3dydt+2y=2

    Правая часть записи уравнения представляет собой многочлен нулевой степени. Это значит, что частное решение будем искать в виде y~=A, где А – это неопределенный коэффициент.

    Определить неопределенный коэффициент мы можем из равенства d2y~dt2-3dy~dt+2y~=2:
    d2(A)dt2-3d(A)dt+2A=22A=2A=1

    Таким образом, y~=1 и y(t)=y0+y~=C1·et+C2·e2t+1. Одну неизвестную функцию мы нашли.

    Теперь подставим найденную функцию во 2-е уравнение системы ДУ и разрешим новое уравнение относительно x(t):
    d(C1·et+C2·e2t+1)dt=x+2·(C1·et+C2·e2t+1)-3C1·et+2C2·e2t=x+2C1·et+2C2·e2t-1x=-C1·et+1

    Так мы вычислили вторую неизвестную функцию x(t)=-C1·et+1.

    Ответ: x(t)=-C1·et+1y(t)=C1·et+C2·e2t+1

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,4 из 5 (7 голосов)