Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

    Данная статья раскрывает вопрос о решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Будет рассмотрена теория вместе с примерами приведенных задач. Для расшифровки непонятных терминов необходимо обращаться к теме об основных определениях и понятиях теории дифференциальных уравнений.

    Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами вида y''+p·y'+q·y=f(x), где произвольными числами являются p и q, а имеющаяся функция f(х) непрерывная на интервале интегрирования x.

    Перейдем к формулировке теоремы общего решения ЛНДУ.

    Теорема общего решения ЛДНУ

    Теорема 1

    Общим решением, находящимся на интервале х, неоднородного дифференциального уравнения вида y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+...+f0(x)·y=f(x) с непрерывными коэффициентами интегрирования на x интервале f0(x), f1(x),..., fn-1(x) и непрерывной функцией f(x) равняется сумме общего решения y0, которое соответствует ЛОДУ и каким-нибудь частным решением y~, где исходным неоднородным уравнением является y=y0+y~.

    Отсюда видно, что решение такого уравнения второго порядка имеет вид y=y0+y~. Алгоритм нахождения  y0 рассмотрен в статье о линейных однородных дифференциальных уравнениях второго порядка с постоянными коэффициентами. После чего следует переходить к определению y~.

    Выбор частного решения ЛНДУ зависит от вида имеющейся функции f(x), располагающейся в правой части уравнения. Для этого необходимо рассмотреть отдельно решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка при постоянных коэффициентах.

    Когда f(x) считается за многочлен n-ой степени f(x) = Pn(x), отсюда следует, что частное решение ЛНДУ находим по формуле вида y~=Qn(x)·xγ, где Qn(x) является многочленом степени n, r – это количество нулевых корней характеристического уравнения. Значение y~ является частным решением y~''+p·y~'+q·y~=f(x), тогда имеющиеся коэффициенты, которые определены многочленом
    Qn(x), отыскиваем при помощи метода неопределенных коэффициентов из равенства y~''+p·y~'+q·y~=f(x).

    Пример 1

    Вычислить по теореме Коши y''-2y'=x2+1, y(0)=2, y'(0)=14.

    Решение

    Иначе говоря, необходимо перейти к частному решению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y''-2y'=x2+1, которое будет удовлетворять заданным условиям y(0)=2, y'(0)=14.

    Общим решением линейного неоднородного уравнения является сумма общего решения, которое соответствует уравнению y0 или частному решению неоднородного уравнения y~, то есть y=y0+y~.

    Для начала найдем общее решение для ЛНДУ, а после чего – частное.

    Перейдем к нахождению y0. Запись характеристического уравнения поможет  найти корни. Получаем, что

    k2-2k=0k(k-2)=0k1=0, k2=2

    Получили, что корни различные и действительные. Поэтому запишем

    y0=C1e0x+C2e2x=C1+C2e2x.

    Найдем y~. Видно, что правая часть заданного уравнения является многочленом второй степени, тогда один из корней равняется нулю. Отсюда получим, что частным решением для y~ будет

    y~=Q2(x)·xγ=(Ax2+Bx+C)·x=Ax3+Bx2+Cx, где значения А, В, С принимают неопределенные коэффициенты.

    Найдем их из равенства вида y~''-2y~'=x2+1.

    Тогда получим, что:

    y~''-2y~'=x2+1(Ax3+Bx2+Cx)''-2(Ax3+Bx2+Cx)'=x2+13Ax2+2Bx+C'-6Ax2-4Bx-2C=x2+16Ax+2B-6Ax2-4Bx-2C=x2+1-6Ax2+x(6A-4B)+2B-2C=x2+1

    Приравняв коэффициенты с одинаковыми показателями степеней x, получим систему линейных выражений -6A=16A-4B=02B-2C=1.  При решении любым из способов найдем коэффициенты и запишем: A=-16, B=-14, C=-34 и y~=Ax3+Bx2+Cx=-16x3-14x2-34x.

    Эта запись называется общим решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

    Для нахождения частного решения, которое удовлетворяет условиям y(0)=2, y'(0)=14, требуется определить значения C1 и C2 , исходя из равенства вида y=C1+C2e2x-16x3+14x2+34x.

    Получаем, что:

    y(0)=C1+C2e2x-16x3+14x2+34xx=0=C1+C2y'(0)=C1+C2e2x-16x3+14x2+34x'x=0==2C2e2x-12x2+12x+34x=0=2C2-34

    Работаем с полученной системой уравнений вида C1+C2=22C2-34=14, где C1=32, C2=12.

    Применив теорему Коши, имеем, что

    y=C1+C2e2x-16x3+14x2+34x==32+12e2x-16x3+14x2+34x

    Ответ: 32+12e2x-16x3+14x2+34x.

    Когда функция f(x) представляется  в виде произведения многочлена со степенью n и экспоненты f(x)=Pn(x)·eax, тогда отсюда получаем, что  частным решением ЛНДУ второго порядка будет уравнение вида y~=eax·Qn(x)·xγ, где Qn(x) является многочленом n-ой степени, а r – количеством корней характеристического уравнения, равняющиеся α.

    Коэффициенты, принадлежащие Qn(x) находятся по равенству  y~''+p·y~'+q·y~=f(x).

    Пример 2

    Найти общее решение дифференциального уравнения вида y''-2y'=(x2+1)·ex.

    Решение

    Уравнение общего вида y=y0+y~.  Указанное уравнение соответствует ЛОДУ y''-2y'=0. По предыдущему примеру видно, что его корни равняются k1=0 и k2=2 и y0=C1+C2e2x по характеристическому уравнению.

    Видно, что правой частью уравнения является x2+1·ex. Отсюда ЛНДУ находится через y~=eax·Qn(x)·xγ, где Qn(x), являющимся многочленом второй степени, где α=1 и r=0, потому как у характеристического уравнения отсутствует корень, равный 1. Отсюда получаем, что

    y~=eax·Qn(x)·xγ=ex·Ax2+Bx+C·x0=ex·Ax2+Bx+C.

    А, В, С являются неизвестными коэффициентами, которые можно найти по равенству y~''-2y~'=(x2+1)·ex.

    Получили, что

    y~'=ex·Ax2+Bx+C'=ex·Ax2+Bx+C+ex·2Ax+B==ex·Ax2+x2A+B+B+Cy~''=ex·Ax2+x2A+B+B+C'==ex·Ax2+x2A+B+B+C+ex·2Ax+2A+B==ex·Ax2+x4A+B+2A+2B+C

    Значит

    y~''-2y~'=(x2+1)·exex·Ax2+x4A+B+2A+2B+C--2ex·Ax2+x2A+B+B+C=x2+1·exex·-Ax2-Bx+2A-C=(x2+1)·ex-Ax2-Bx+2A-C=x2+1-Ax2-Bx+2A-C=1·x2+0·x+1

    Показатели при одинаковых коэффициентах приравниваем и получаем систему линейных уравнений. Отсюда и находим А, В, С:

    -A=1-B=02A-C=1A=-1B=0C=-3

    Ответ: видно, что y~=ex·(Ax2+Bx+C)=ex·-x2+0·x-3=-ex·x2+3 является частным решением ЛНДУ, а y=y0+y=C1e2x-ex·x2+3 - общим решением для неоднородного дифуравнения второго порядка.

    Когда функция записывается как f(x)=A1cos(βx)+B1sinβx, а А1 и В1 являются числами, тогда частным решением ЛНДУ считается уравнение вида y~=Acosβx+Bsinβx·xγ, где А и В считаются неопределенными коэффициентами, а r числом комплексно сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняющимся ±iβ. В этом случае поиск коэффициентов проводится по равенству y~''+p·y~'+q·y~=f(x).

    Пример 3

    Найти общее решение дифференциального уравнения вида y''+4y=cos(2x)+3sin(2x).

    Решение

    Перед написанием характеристического уравнения находим y0. Тогда

    k2+4=0k2=-4k1=2i, k2=-2i

    Имеем пару комплексно сопряженных корней. Преобразуем и получим:

    y0=e0·(C1cos(2x)+C2sin(2x))=C1cos2x+C2sin(2x)

    Корни из характеристического уравнения считаются сопряженной парой ±2i, тогда f(x)=cos(2x)+3sin(2x). Отсюда видно, что поиск y~ будет производиться из y~=(Acos(βx)+Bsin(βx)·xγ=(Acos(2x)+Bsin(2x))·x. Неизвестные коэффициенты А и В будем искать из равенства вида y~''+4y~=cos(2x)+3sin(2x).

    Преобразуем:

    y~'=((Acos(2x)+Bsin(2x)·x)'==(-2Asin(2x)+2Bcos(2x))·x+Acos(2x)+Bsin(2x)y~''=((-2Asin(2x)+2Bcos(2x))·x+Acos(2x)+Bsin(2x))'==(-4Acos(2x)-4Bsin(2x))·x-2Asin(2x)+2Bcos(2x)--2Asin(2x)+2Bcos(2x)==(-4Acos(2x)-4Bsin(2x))·x-4Asin(2x)+4Bcos(2x)

    Тогда видно, что

    y~''+4y~=cos(2x)+3sin(2x)(-4Acos(2x)-4Bsin(2x))·x-4Asin(2x)+4Bcos(2x)++4(Acos(2x)+Bsin(2x))·x=cos(2x)+3sin(2x)-4Asin(2x)+4Bcos(2x)=cos(2x)+3sin(2x)

    Необходимо приравнять коэффициенты синусов и косинусов. Получаем систему вида:

    -4A=34B=1A=-34B=14

    Следует, что y~=(Acos(2x)+Bsin(2x)·x=-34cos(2x)+14sin(2x)·x.

    Ответ: общим решением исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами считается

    y=y0+y~==C1cos(2x)+C2sin(2x)+-34cos(2x)+14sin(2x)·x

    Когда f(x)=eax·Pn(x)sin(βx)+Qk(x)cos(βx), тогда y~=eax·(Lm(x)sin(βx)+Nm(x)cos(βx)·xγ. Имеем, что r – это число комплексно сопряженных пар корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняются α±iβ, где Pn(x), Qk(x), Lm(x) и Nm(x) являются многочленами степени n, k, т, m, где m=max(n, k). Нахождение коэффициентов Lm(x) и Nm(x) производится, исходя из равенства y~''+p·y~'+q·y~=f(x).

    Пример 4

    Найти общее решение y''+3y'+2y=-e3x·((38x+45)sin(5x)+(8x-5)cos(5x)).

    Решение

    По условию видно, что

    α=3, β=5, Pn(x)=-38x-45, Qk(x)=-8x+5, n=1, k=1

    Тогда m=max(n,k)=1. Производим нахождение y0, предварительно записав характеристическое уравнение вида:

    k2-3k+2=0D=32-4·1·2=1k1=3-12=1, k2=3+12=2

    Получили, что корни являются действительными и различными. Отсюда y0=C1ex+C2e2x. Далее необходимо искать общее решение, исходя из неоднородного уравнения y~ вида

    y~=eαx·(Lm(x)sin(βx)+Nm(x)cos(βx)·xγ==e3x·((Ax+B)cos(5x)+(Cx+D)sin(5x))·x0==e3x·((Ax+B)cos(5x)+(Cx+D)sin(5x))

    Известно, что А, В, С являются коэффициентами, r=0, потому как отсутствует пара сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению с α±iβ=3±5·i. Данные коэффициенты находим из полученного равенства:

    y~''-3y~'+2y~=-e3x((38x+45)sin(5x)+(8x-5)cos(5x))(e3x((Ax+B)cos(5x)+(Cx+D)sin(5x)))''--3(e3x((Ax+B)cos(5x)+(Cx+D)sin(5x)))=-e3x((38x+45)sin(5x)+(8x-5)cos(5x))

    Нахождение производной и подобных слагаемых дает

    -e3x·((15A+23C)·x·sin(5x)++(10A+15B-3C+23D)·sin(5x)++(23A-15C)·x·cos(5x)+(-3A+23B-10C-15D)·cos(5x))==-e3x·(38·x·sin(5x)+45·sin(5x)++8·x·cos(5x)-5·cos(5x))

    После приравнивания коэффициентов получаем систему вида

    15A+23C=3810A+15B-3C+23D=4523A-15C=8-3A+23B-10C-15D=-5A=1B=1C=1D=1

    Из всего следует, что

    y~=e3x·((Ax+B)cos(5x)+(Cx+D)sin(5x))==e3x·((x+1)cos(5x)+(x+1)sin(5x))

    Ответ: теперь получено общее решение заданного линейного уравнения:

    y=y0+y~==C1ex+C2e2x+e3x·((x+1)cos(5x)+(x+1)sin(5x))

    Алгоритм решения ЛДНУ

    Определение 1

    Любой другой вид функции f(x) для решения предусматривает соблюдение алгоритма решения:

    • нахождение общего решения соответствующего линейного однородного уравнения, где y0=C1y1+C2y2, где y1 и y2 являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ, С1 и С2 считаются произвольными постоянными;
    • принятие в качестве общего решения ЛНДУ y=C1(x)y1+C2(x)y2;
    • определение производных функции через систему вида C1'(x)+y1(x)+C2'(x)·y2(x)=0C1'(x)+y1'(x)+C2'(x)·y2'(x)=f(x), а нахождение функций C1(x) и C2(x) посредствам интегрирования.
    Пример 5

    Найти общее решение для y''+36y=24sin(6x)-12cos(6x)+36e6x.

    Решение

    Переходим к написанию характеристического уравнения, предварительно записав y0, y''+36y=0. Запишем и решим:

    k2+36=0k1=6i, k2=-6iy0=C1cos(6x)+C2sin(6x)y1(x)=cos(6x), y2(x)=sin(6x)

    Имеем, что запись общего решения заданного уравнения получит вид y=C1(x)·cos(6x)+C2(x)·sin(6x). Необходимо перейти к определению производных функций C1(x) и C2(x) по системе с уравнениями:

    C1'(x)·cos(6x)+C2'(x)·sin(6x)=0C1'(x)·(cos(6x))'+C2'(x)·(sin(6x))'=0C1'(x)·cos(6x)+C2'(x)·sin(6x)=0C1'(x)(-6sin(6x)+C2'(x)(6cos(6x))==24sin(6x)-12cos(6x)+36e6x

    Необходимо произвести решение относительно C1'(x) и C2'(x) при помощи любого способа. Тогда запишем:

    C1'(x)=-4sin2(6x)+2sin(6x)cos(6x)-6e6xsin(6x)C2'(x)=4sin(6x)cos(6x)-2cos2(6x)+6e6xcos(6x)

    Каждое из уравнений следует проинтегрировать . Тогда запишем получившиеся уравнения:

    C1(x)=13sin(6x)cos(6x)-2x-16cos2(6x)++12e6xcos(6x)-12e6xsin(6x)+C3C2(x)=-16sin(6x)cos(6x)-x-13cos2(6x)++12e6xcos(6x)+12e6xsin(6x)+C4

    Отсюда следует, что общее решение будет иметь вид:

    y=13sin(6x)cos(6x)-2x-16cos2(6x)++12e6xcos(6x)-12e6xsin(6x)+C3·cos(6x)++-16sin(6x)cos(6x)-x-13cos2(6x)++12e6xcos(6x)+12e6xsin(6x)+C4·sin(6x)==-2x·cos(6x)-x·sin(6x)-16cos(6x)++12e6x+C3·cos(6x)+C4·sin(6x)

    Ответ: y=y0+y~=-2x·cos(6x)-x·sin(6x)-16cos(6x)++12e6x+C3·cos(6x)+C4·sin(6x)

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,2 из 5 (17 голосов)