Вычитание целых чисел, правила, примеры, сложение и вычитание целых чисел

Вычитание целых чисел: правила, примеры

    Для полноценного разбора темы статьи введем термины и определения, обозначим смысл действия вычитания и выведем правило, согласно которому действие вычитания возможно привести к выполнению действия сложения. Разберем практические примеры. А также рассмотрим действие вычитания в геометрическом толковании – на координатной прямой.

    В общем, основные термины, используемые для описания действия вычитания, едины для любого типа чисел.

    Определение 1

    Уменьшаемое – целое число, из которого будет производиться вычитание.

    Вычитаемое – целое число, которое будем вычитать.

    Разность – результат выполненного действия вычитания.

    Для обозначения самого действия используется знак минус, размещённый между уменьшаемым и вычитаемым. Все составные части действия, указанные выше, записываются в виде равенства. Т.е., если заданы целые числа a и b, и при вычитании из первого второго получается число c, действие вычитания запишется следующим образом: a  b = c.

    Выражение вида a  b также будем обозначать как разность, как и само конечное значение этого выражения.

    Смысл вычитания целых чисел

    В теме вычитания натуральных чисел была установлена взаимосвязь между действиями сложения и вычитания, которая дала возможность определить вычитание как поиск одного из слагаемых по известной сумме и второму слагаемому. Примем, что вычитание целых чисел имеет такой же смысл: по заданной сумме и одному из слагаемых определяется второе слагаемое.

    Указанный смысл действия вычитания целых чисел дает возможность утверждать, что c-b = a и c-a = b, если a+b = c, где a, b, c – целые числа.

    Рассмотрим простые примеры для закрепления теории:

    - пусть мы знаем, что -5+11 = 6, тогда разность 6-11 = -5;

    - допустим, известно, что -13 + (-5) = -18, тогда -18  (-5) = -13, а -18  (-13) = -5.

    Правило вычитания целых чисел

    Указанный выше смысл действия вычитания не обозначает для нас конкретного способа вычислить разность. Т.е. мы можем утверждать, что одно из известных слагаемых – результат вычитания из суммы другого известного слагаемого. Но, если одно из слагаемых окажется неизвестным, то мы не можем знать, какова будет разность между суммой и известным слагаемым. Следовательно, для выполнения действия вычитания нам потребуется правило вычитания целых чисел:

    Определение 1

    Для того, чтобы определить разность двух чисел, необходимо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому, т.е. a  b = a+ (-b), где a и b – целые числа; b и b – противоположные числа.

    Докажем указанное правило вычитания, т.е. докажем справедливость указанного в правиле равенства. Для этого, согласно смыслу вычитания целых чисел, прибавим к a+(-b) вычитаемое b и убедимся, что получим в результате уменьшаемое a, т.е. проверим действительность равенства (a+(-b))+b = a. На основании свойств сложения целых чисел мы можем записать цепочку равенств: (a+(-b))+b = a+((-b)+b) = a+0 = a, она и будет являться доказательством правила вычитания целых чисел.

    Рассмотрим применение правила вычитания целых чисел на конкретных примерах.

    Вычитание целого положительного числа, примеры

    Пример 1

    Необходимо выполнить вычитание из целого числа 15 целого положительного числа 45.

    Решение 

    Согласно правилу, чтобы из заданного числа 15 вычесть целое положительное число 45, нужно к уменьшаемому 15 прибавить число -45, т.е. противоположное заданному 45. Таким образом, искомая разность будет равна сумме целых чисел 15 и -45. Вычислив нужную сумму чисел с противоположными знаками, получим число -30. Т.е. итогом вычитания числа 45 из числа 15 будет число -30. Запишем все решение в одну строку: 15-45 = 15+(-45) = -30.

    Ответ: 15-45 = -30.

    Пример 2

    Необходимо вычесть из целого отрицательного числа -150 целое положительное число 25.

    Решение 

    Согласно правилу, прибавим к уменьшаемому числу -150 число -25 (т.е. противоположное заданному вычитаемому 25). Найдем сумму целых отрицательных чисел: -150+(-25) = -175. Таким образом, искомая разность равна . Все решение запишем так: -150-25 = -150+(-25) = -175.

    Ответ: -150-25 = -175.

    Вычитание нуля, примеры

    Правило вычитания целых чисел дает возможность вывести принцип вычитания нуля из целого числа – вычитание нуля из любого целого числа не изменяет это число, т.е. a-0 = a, где a – произвольное целое число.

    Поясним. Согласно правилу вычитания, вычитание нуля – это прибавление к уменьшаемому числа, противоположного нулю. Нуль – число, противоположное самому себе, т.е. вычесть нуль это то же самое, что прибавить нуль. На основе соответствующего свойства сложения прибавление нуля к любому целому числу не изменяет это число. Таким образом,

    a-0 = a+(-0) = a+0 = a.

    Рассмотрим простые примеры вычитания нуля из различных целых чисел. Например, разность 61-0 равна 61. Если же из целого отрицательного числа -874 вычесть нуль, то получится -874. Если от нуля отнять нуль, получим нуль.

    Вычитание целого отрицательного числа, примеры

    Пример 3

    Необходимо вычесть из целого числа 0 целое отрицательное число -324.

    Решение

    Согласно правилу вычитания определение разности 0-(-324) необходимо произвести прибавлением к уменьшаемому числу 0 числа, противоположного вычитаемому -324. Тогда: 0-(-324) = 0+324 = 324

    Ответ: 0-(-324) = 324

    Пример 4

    Определить разность -6-(-13).

    Решение 

    Произведем вычитание из целого отрицательного числа -6 целого отрицательного числа -13. Для этого вычислим сумму двух чисел: уменьшаемого -6 и числа 13 (т.е. противоположного заданному вычитаемому -13). Получим: -6-(-13) = -6+13 = 7.

    Ответ: -6-(-13) = 7.

    Вычитание равных целых чисел

    Если заданные уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность будет равна нулю, т.е. a-a = 0, где a – любое целое число.

    Поясним. Согласно правилу вычитания целых чисел a-a = a+ (-a) = 0, что означает: чтобы из целого числа вычесть равное ему, нужно прибавить к этому числу число, ему противоположное, что даст в результате нуль.

    Например, разность равных целых чисел -54 и -54 равна нулю; совершая действие вычитания из числа 513 числа 513, получаем нуль; отнимая от нуля нуль, получаем также нуль.

    Проверка результата вычитания целых чисел

    Необходимая проверка производится с помощью действия сложения. Для этого к полученной разности прибавляем вычитаемое: в итоге должно получится число, равное уменьшаемому.

    Пример 5

    Было произведено вычитание целого числа -112 из целого числа -300, при этом получена разность -186. Верно ли было произведено вычитание?

    Решение

    Выполним проверку согласно указанному выше принципу. Прибавим к заданной разности вычитаемое: -186+(-112) = -298. Мы получили число, отличное от заданного уменьшаемого, следовательно, была допущена ошибка при вычислении разности.

    Ответ: нет, вычитание было произведено неверно.

    Вычитание целых чисел на координатной прямой

    В заключение рассмотрим геометрическое толкование действия вычитания целых чисел. Начертим горизонтальную координатную прямую, направленную вправо:

    Выше мы вывели правило совершения действия вычитания, согласно ему: a-b = a+(-b), тогда геометрическое толкование вычитания чисел a и b будет совпадать с геометрическим смыслом сложения целых чисел a и b. Из этого следует, что для вычитания из целого числа a целого числа b, необходимо:

    - сдвинуться из точки с координатой a на b единичных отрезков влево, если b – положительное число;

    - сдвинуться из точки с координатой a на |b| (модуль числа b) единичных отрезков вправо, если b – отрицательное число;

    - остаться в точке с координатой a, если b = 0.

    Рассмотрим на примере с применением графического изображения:

    Пусть необходимо вычесть из целого числа -2 целое положительное число 2. Для этого, согласно вышеуказанной схеме, переместимся влево на 2 единичных отрезка, попадая, таким образом, в точку с координатой -4, т.е. -2-2 = -4.

    Еще один пример: вычитаем из целого числа 2 целое отрицательное число -3. Тогда, согласно схеме, переместимся вправо на |-3| = 3 единичных отрезка, попадая, таким образом, в точку с координатой 5. Получаем равенство: 2-(-3) = 5 и иллюстрацию к нему:

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,6 из 5 (19 голосов)