Вычитание обыкновенных дробей: правила, примеры, решения, решение дробей

Вычитание обыкновенных дробей: правила, примеры, решения

    Следующее действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, - вычитание. В рамках этого материала мы рассмотрим, как правильно вычислить разность дробей с одинаковыми и разными знаменателями, как вычесть дробь из натурального числа и наоборот. Все примеры будут проиллюстрированы задачами. Заранее уточним, что мы будем разбирать лишь случаи, когда разность дробей дает в итоге положительное число.

    Как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями

    Начнем сразу с наглядного примера: допустим, у нас есть яблоко, которое разделили на восемь частей. Оставим пять частей на тарелке и заберем две из них. Это действие можно записать так:

    58-28

    В итоге у нас осталось 3 восьмых доли, поскольку 52=3. Получается, что 58-28=38.

    Благодаря этому простому примеру мы увидели, как именно работает правило вычитания для дробей, знаменатели которых одинаковы. Сформулируем его.

    Определение 1

    Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя одной вычесть числитель другой, а знаменатель оставить прежним. Это правило можно записать в виде ab-cb=a-cb.  

    Такую формулу мы будем использовать и в дальнейшем.

    Возьмем конкретные примеры.

    Пример 1

    Вычтите из дроби 2415 обыкновенную дробь 1715.

    Решение 

    Мы видим, что эти дроби имеют одинаковые знаменатели. Поэтому все, что нам нужно сделать, – это вычесть 17 из 24. Мы получаем 7 и дописываем к ней знаменатель, получаем 715.

    Наши подсчеты можно записать так: 2415-1715=24-1715=715

    Если необходимо, можно сократить сложную дробь или выделить целую часть из неправильной, чтобы считать было удобнее.

    Пример 2

    Найдите разность 3712-1512.

    Решение

    Воспользуемся описанной выше формулой и подсчитаем: 3712-1512=37-1512=2212

    Легко заметить, что числитель и знаменатель можно разделить на 2 (об этом мы уже говорили ранее, когда разбирали признаки делимости). Сократив ответ, получим 116. Это неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть: 116=156.

    Как найти разность дробей с разными знаменателями

    Такое математическое действие можно свести к тому, что мы уже описывали выше. Для этого просто приведем нужные дроби к одному знаменателю. Сформулируем определение:

    Определение 2

    Чтобы найти разность дробей, у которых разные знаменатели, необходимо привести их к одному знаменателю и найти разность числителей.

    Рассмотрим на примере, как это делается.

    Пример 3

    Вычтите из 29 дробь 115.

    Решение 

    Знаменатели разные, и нужно привести их к наименьшему общему значению. В данном случае НОК равно 45. Для первой дроби необходим дополнительный множитель 5, а для второй – 3.

    Подсчитаем: 29=2·59·5=1045115=1·315·3=345

    У нас получились две дроби с одинаковым знаменателем, и теперь мы легко можем найти их разность по описанному ранее алгоритму: 1045-345=10-345=745

    Краткая запись решения выглядит так: 29-115=1045-345=10-345=745.

    Не стоит пренебрегать сокращением результата или выделением из него целой части, если это необходимо. В данном примере нам этого не нужно делать.

    Пример 4

    Найдите разность 199 - 736.

    Решение 

    Приведем указанные в условии дроби к наименьшему общему знаменателю 36 и получим соответственно 769 и 736.

    Считаем ответ: 7636-736=76-736=6936

    Результат можно сократить на 3 и получить 2312. Числитель больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. Итоговый ответ - 11112.

    Краткая запись всего решения - 199-736=11112.

    Как вычесть из обыкновенной дроби натуральное число

    Такое действие также легко свести к простому вычитанию обыкновенных дробей. Это можно сделать, представив натуральное число в виде дроби. Покажем на примере.

    Пример 5

    Найдите разность 8321  3.

    Решение 

    3 – то же самое, что и 31. Тогда можно подсчитать так: 8321-3=2021.

    Если в условии необходимо вычесть целое число из неправильной дроби, удобнее сначала выделить из нее целое, записав ее в виде смешанного числа. Тогда предыдущий пример можно решить иначе.

    Из дроби 8321 при выделении целой части получится 8321=32021.

    Теперь просто вычтем 3 из него: 32021-3=2021.

    Как вычесть обыкновенную дробь из натурального числа

    Это действие делается аналогично предыдущему: мы переписываем натуральное число в виде дроби, приводим обе к единому знаменателю и находим разность. Проиллюстрируем это примером.

    Пример 6

    Найдите разность: 7-53.

    Решение 

    Сделаем 7 дробью 71. Делаем вычитание и преобразуем конечный результат, выделяя из него целую часть: 7-53=513

    Есть и другой способ произвести расчеты. Он обладает некоторыми преимуществами, которыми можно воспользоваться в тех случаях, если числители и знаменатели дробей в задаче – большие числа.

    Определение 3

    Если та дробь, которую нужно вычесть, является правильной, то натуральное число, из которого мы вычитаем, нужно представить в виде суммы двух чисел, одно из которых равно 1. После этого нужно вычесть нужную дробь из единицы и получить ответ.

    Пример 7

    Вычислите разность 1 065 -1362.

    Решение

    Дробь, которую нужно вычесть – правильная, ведь ее числитель меньше знаменателя. Поэтому нам нужно отнять единицу от 1065 и вычесть из нее нужную дробь: 1065-1362=(1064+1)-1362

    Теперь нам нужно найти ответ. Используя свойства вычитания, полученное выражение можно записать как 1064+1-1362. Подсчитаем разность в скобках. Для этого единицу представим как дробь 11.

    Получается, что 1-1362=11-1362=6262-1362=4962.

    Теперь вспомним про 1064 и сформулируем ответ: 10644962.

    Используем старый способ, чтобы доказать, что он менее удобен. Вот такие вычисления вышли бы у нас:

    1065-1362=10651-1362=1065·621·62-1362=6603062-1362==66030-1362=6601762=106446

    Ответ тот же, но подсчеты, очевидно, более громоздкие.

    Мы рассмотрели случай, когда нужно вычесть правильную дробь. Если она неправильная, мы заменяем ее смешанным числом и производим вычитание по знакомым правилам.

    Пример 8

    Вычислите разность 644 - 735.

    Решение 

    Вторая дробь – неправильная, и от нее надо отделить целую часть.

    735=1435

    Теперь вычисляем аналогично предыдущему примеру: 630-35=(629+1)-35=629+1-35=629+25=62925

    Свойства вычитания при работе с дробями

    Те свойства, которыми обладает вычитание натуральных чисел, распространяются и на случаи вычитания обыкновенных дробей. Рассмотрим, как использовать их при решении примеров.

    Пример 9

    Найдите разность 244-32-56.

    Решение

    Схожие примеры мы уже решали, когда разбирали вычитание суммы из числа, поэтому действуем по уже известному алгоритму. Сначала подсчитаем разность 254-32, а потом отнимем от нее последнюю дробь:

    254-32=244-64=194194-56=5712-1012=4712

    Преобразуем ответ, выделив из него целую часть. Итог - 31112.

    Краткая запись всего решения:

    254-32-56=254-32-56=254-64-56==194-56=5712-1012=4712=31112

    Если в выражении присутствуют и дроби, и натуральные числа, то рекомендуется при подсчетах сгруппировать их по типам.

    Пример 10

    Н айдите разность 98+1720-5+35.

    Решение 

    Зная основные свойства вычитания и сложения, мы можем сгруппировать числа следующим образом: 98+1720-5+35=98+1720-5-35=98-5+1720-35

    Завершим расчеты: 98-5+1720-35=93+1720-1220=93+520=93+14=9314 

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    5,0 из 5 (16 голосов)