Смешанные числа, перевод смешанного числа в неправильную дробь и обратно, как перевести неправильную дробь в правильную

Смешанные числа, перевод смешанного числа в неправильную дробь и обратно

    В этом материале мы разберем такое понятие, как смешанные числа. Начнем, как всегда, с определения и небольших примеров, потом поясним связь смешанных чисел и неправильных дробей. После этого мы изучим, как правильно выделять целую часть из дроби и получать в результате целое число.

    Понятие смешанного числа

    Если мы возьмем сумму n+ab, где значением n может быть любое натуральное число, а ab представляет из себя правильную обыкновенную дробь, то мы можем записать то же самое, не используя плюс: nab. Возьмем конкретные числа для ясности: так, 28+57 – это то же самое, что и 2857. Запись дроби рядом с целым числом принято называть смешанным числом.

    Определение 1

    Смешанное число представляет собой такое число, которое равно сумме натурального числа n с правильной обыкновенной дробью ab. В таком случае n является целой частью числа, а ab – его дробной частью.

    Из определения следует, что любое смешанное число равно тому, что получится в результате сложения его целой и дробной части. Таким образом, будет выполняться равенство nab=n+ab.

    Его также можно записать в виде n+ab=nab.

    Какие можно привести примеры смешанных чисел? Так, к ним относится 518, при этом пятерка – это его целая часть, а одна восьмая – дробная. Еще примеры: 112, 2343453, 34000625.

    Выше мы писали, что в дробной части смешанного числа должна стоять только правильная дробь. Иногда можно встретить записи вида 5223, 7572. Они не являются смешанными числами, т.к. их дробная часть неправильная. Их нужно понимать как сумму целой и дробной части. Такие числа можно привести к стандартному виду записи смешанных чисел, выделив целую часть из неправильной дроби и добавив ее к 5 и 75 в этих примерах соответственно.

    Числа вида 0314также не относятся к смешанным. Здесь не выполняется первая часть условия: целая часть должна быть представлена только натуральным числом, а нуль им не является.

    Как соотносятся между собой неправильные дроби и смешанные числа

    Эту связь проще всего проследить на конкретном примере.

    Пример 1

    Возьмем целый торт и еще три четверти такого же. Согласно правилам сложения, у нас на столе находится 1+34 торта. Эту сумму можно представить в виде смешанного числа как 134 торта. Если мы возьмем целый торт и тоже разрежем его на четыре равные части, то у нас на столе будет 74 торта. Очевидно, что от разрезания количество не увеличилось, и 134=74.

    Наш пример доказывает, что в виде смешанного числа можно представить любую неправильную дробь.

    Вернемся к нашим 74 торта, оставшимся на столе. Сложим из его кусочков один торт обратно (1+34). У нас опять будет 134.

    Ответ: 74=134.

    Мы поняли, как приводить неправильную дробь к виду смешанного числа. Если в числителе неправильной дроби стоит такое число, которое можно разделить на знаменатель без остатка, то можно сделать это, и тогда наша неправильная дробь станет натуральным числом.

    Пример 2

    Например,

    84=2, так как 8:4=2.

    Как перевести смешанное число в неправильную дробь

    Чтобы успешно решать задачи, полезно уметь производить и обратное действие, то есть делать из смешанных чисел неправильные дроби. В этом пункте мы разберем, как правильно это сделать.

    Для этого нужно воспроизвести следующую последовательность действий:

    1. Для начала представляем имеющееся смешанное число nab как сумму целой и дробной части. Получается n+ab

    2. Далее заменяем целую часть на дробь со знаменателем, равным единице (то есть записываем n как n1).

    3.После этого выполняем уже знакомое действие – складываем две обыкновенные дроби n1 и ab. Получившаяся в результате неправильная дробь и будет равной смешанному числу, данному в условии.

    Разберем это действие на конкретном примере.

    Пример 3

    Представьте 537 в виде неправильной дроби.

    Решение 

    Выполняем последовательно шаги указанного выше алгоритма. Наше число 537 – это сумма целой и дробной части, то есть 5+37. Теперь пятерку запишем в виде 51. У нас получилась сумма 51+37.

    Последний шаг – сложение дробей, имеющих разные знаменатели:

    51+37=357+37=387

    Все решение к краткой форме можно записать как 537=5+37=51+37=357+37=387.

    Ответ: 537=387.

    Таким образом, с помощью указанной выше цепочки действий мы можем перевести любое смешанное число nab в неправильную дробь. У нас получилась формула nab=n·b+ab, которую мы и будем брать для решения дальнейших задач.

    Пример 4

    Представьте 1525 в виде неправильной дроби.

    Решение

    Возьмем указанную формулу и подставим в нее нужные значения. У нас n=15, a=2, b=5, следовательно, 1525=15·5+25=775.

    Ответ: 1525=775.

    Как выделить из неправильной дроби целую часть

    Обычно мы не указываем неправильную дробь в качестве итогового ответа. Принято доводить вычисления до конца и заменять ее либо натуральным числом (разделив числитель на знаменатель), либо смешанным числом. Как правило, первый способ используется, когда разделить числитель на знаменатель можно без остатка, а второй – если такое действие невозможно.

    Когда мы выделяем из неправильной дроби целую часть, мы просто заменяем ее равным смешанным числом.

    Разберем, как именно это делается.

    Определение 2

    Любая неправильная дробь ab –это смешанное число qrb. Здесь q представляет собой неполное частное, а r – это остаток от ab. Таким образом, целая часть смешанного числа есть неполное частное от деления ab, а дробная – это остаток.

    Приведем доказательство этого утверждения.

    Нам требуется пояснить, почему qrb=ab. Для этого смешанное число qrb надо представить в виде неправильной дроби, выполнив все шаги алгоритма из предыдущего пункта. Поскольку – неполное частное, а r – остаток от деления a на b, то должно выполняться равенство a=b·q+r.

    Таким образом, q·b+rb=ab поэтому qrb=ab. Это и есть доказательство нашего утверждения. Подытожим:

    Определение 3

    Выделение целой части из неправильной дроби ab осуществляется таким образом:

    1) производим деление a на b с остатком и записываем неполное частное q и остаток r отдельно.

    2) Записываем результаты в виде qrb. Это и есть наше смешанное число, равное исходной неправильной дроби.

    Пример 5

    Представьте 1074 в виде смешанного числа.

    Решение

    Делим 104 на 7 столбиком:

    Деление числителя a=118 на знаменатель b=7 дает нам в итоге неполное частное q=16 и остаток r=6.

    В итоге мы получаем, что неправильная дробь 1187 равна смешанному числу qrb=1667.

    Ответ: 1187=1667.

    Нам осталось посмотреть, как заменить неправильную дробь натуральным числом (при условии, что ее числитель делится на знаменатель без остатка).

    Для этого вспомним, какая связь существует между обыкновенными дробями и делением. Из этого можно вывести равенства: ab=a:b=c. Получается, что неправильную дробь ab можно заменить натуральным числом c.

    Пример 6

    Например, если в ответе получилась неправильная дробь 273, то можем записать вместо нее 9, поскольку273=27:3=9.

    Ответ: 273=9.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter