Смешанные числа, перевод смешанного числа в неправильную дробь и обратно

В этом материале мы разберем такое понятие, как смешанные числа. Начнем, как всегда, с определения и небольших примеров, потом поясним связь смешанных чисел и неправильных дробей. После этого мы изучим, как правильно выделять целую часть из дроби и получать в результате целое число.

Понятие смешанного числа

Если мы возьмем сумму $n+\frac{a}{b}$, где значением $n$ может быть любое натуральное число, а $\frac{a}{b}$ представляет из себя правильную обыкновенную дробь, то мы можем записать то же самое, не используя плюс: $n\frac{a}{b}$. Возьмем конкретные числа для ясности: так, $28+\frac{5}{7}$ – это то же самое, что и $28\frac{5}{7}$. Запись дроби рядом с целым числом принято называть смешанным числом.

Из определения следует, что любое смешанное число равно тому, что получится в результате сложения его целой и дробной части. Таким образом, будет выполняться равенство $n\frac{a}{b}=n+\frac{a}{b}$.

Его также можно записать в виде $n+\frac{a}{b}=n\frac{a}{b}$.

Какие можно привести примеры смешанных чисел? Так, к ним относится $5\frac{1}{8}$, при этом пятерка – это его целая часть, а одна восьмая – дробная. Еще примеры: $1\frac{1}{2}, 234\frac{34}{53}, 34000\frac{6}{25}$.

Выше мы писали, что в дробной части смешанного числа должна стоять только правильная дробь. Иногда можно встретить записи вида $5\frac{22}{3}$, $75\frac{7}{2}$. Они не являются смешанными числами, т.к. их дробная часть неправильная. Их нужно понимать как сумму целой и дробной части. Такие числа можно привести к стандартному виду записи смешанных чисел, выделив целую часть из неправильной дроби и добавив ее к $5$ и $75$ в этих примерах соответственно.

Числа вида $0\frac{3}{14}$также не относятся к смешанным. Здесь не выполняется первая часть условия: целая часть должна быть представлена только натуральным числом, а нуль им не является.

Как соотносятся между собой неправильные дроби и смешанные числа

Эту связь проще всего проследить на конкретном примере.

Мы поняли, как приводить неправильную дробь к виду смешанного числа. Если в числителе неправильной дроби стоит такое число, которое можно разделить на знаменатель без остатка, то можно сделать это, и тогда наша неправильная дробь станет натуральным числом.

Как перевести смешанное число в неправильную дробь

Чтобы успешно решать задачи, полезно уметь производить и обратное действие, то есть делать из смешанных чисел неправильные дроби. В этом пункте мы разберем, как правильно это сделать.

Для этого нужно воспроизвести следующую последовательность действий:

1. Для начала представляем имеющееся смешанное число $n\frac{a}{b}$ как сумму целой и дробной части. Получается $n+\frac{a}{b}$

2. Далее заменяем целую часть на дробь со знаменателем, равным единице (то есть записываем $n$ как $\frac{n}{1}$).

3.После этого выполняем уже знакомое действие – складываем две обыкновенные дроби $\frac{n}{1}$ и $\frac{a}{b}$. Получившаяся в результате неправильная дробь и будет равной смешанному числу, данному в условии.

Разберем это действие на конкретном примере.

Таким образом, с помощью указанной выше цепочки действий мы можем перевести любое смешанное число $n\frac{a}{b}$ в неправильную дробь. У нас получилась формула $n\frac{a}{b}=\frac{n·b+a}{b}$, которую мы и будем брать для решения дальнейших задач.

Как выделить из неправильной дроби целую часть

Обычно мы не указываем неправильную дробь в качестве итогового ответа. Принято доводить вычисления до конца и заменять ее либо натуральным числом (разделив числитель на знаменатель), либо смешанным числом. Как правило, первый способ используется, когда разделить числитель на знаменатель можно без остатка, а второй – если такое действие невозможно.

Когда мы выделяем из неправильной дроби целую часть, мы просто заменяем ее равным смешанным числом.

Разберем, как именно это делается.

Приведем доказательство этого утверждения.

Нам требуется пояснить, почему $q\frac{r}{b}=\frac{a}{b}$. Для этого смешанное число $q\frac{r}{b}$ надо представить в виде неправильной дроби, выполнив все шаги алгоритма из предыдущего пункта. Поскольку – неполное частное, а $r$ – остаток от деления $a$ на $b$, то должно выполняться равенство $a=b·q+r$.

Таким образом, $\frac{q·b+r}{b}=\frac{a}{b}$ поэтому $q\frac{r}{b}=\frac{a}{b}$. Это и есть доказательство нашего утверждения. Подытожим:

Нам осталось посмотреть, как заменить неправильную дробь натуральным числом (при условии, что ее числитель делится на знаменатель без остатка).

Для этого вспомним, какая связь существует между обыкновенными дробями и делением. Из этого можно вывести равенства: $\frac{a}{b}=a:b=c$. Получается, что неправильную дробь $\frac{a}{b}$ можно заменить натуральным числом $c$.