Противоположные числа, определение, примеры, противоположное число это
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Противоположные числа, определение, примеры

    В рамках этой статьи мы попробуем разобраться, что же такое противоположные числа. Мы поясним, что вообще они из себя представляют, покажем, какие именно обозначения используют для них, и разберем несколько примеров. В последней части материала мы перечислим основные свойства противоположных чисел.

    Что такое противоположные числа

    Чтобы объяснить само понятие противоположности, нам потребуется для начала изобразить координатную прямую. Возьмем на ней точку M (только не в самом начале отсчета). Ее расстояние до нуля будет равно некоторому количеству единичных отрезков, которые можно, в свою очередь, разбить на десятые и сотые доли. Если же мы отмерим такое же расстояние от начала отсчета в направлении, противоположном тому, на котором расположена M, то мы сможем попасть в другую схожую точку. Назовем ее N. Например, от M до нуля ­– расстояние в 2,4 единичных отрезка, и от N до нуля – тоже. Взгляните на рисунок:

    Вспомним, что каждой точке на координатной прямой можно поставить в соответствие только одно действительное число. В таком случае нашим точкам M и N соответствуют определенные числа, которые и называются противоположными. Каждое число имеет противоположное число, за исключением нуля. Поскольку это начало отсчета, то его считают противоположным самому себе.

    Запишем определение, что же такое противоположные числа:

    Определение 1

    Противоположными называются числа, которым соответствуют такие точки на координатной прямой, в которые мы попадем, если отметим одно и то же расстояние от начала отсчета в разных направлениях (положительном и отрицательном). Нуль находится в начале отсчета и противоположен сам себе.

    Как обозначаются противоположные числа

    В этом пункте мы введем основные обозначения для таких чисел. Если у нас есть некое число и нам нужно записать противоположное ему, то для этого используем минус.

    Пример 1

    Допустим, наше число равно a, следовательно, ему противоположно a (минус a). Точно таким же образом для 0,26 противоположно -0,26, а для 145 это будет -145. Если исходное число само является отрицательным, например, -9, то противоположное мы записываем как (-9).

    Какие еще примеры противоположных чисел можно привести? Возьмем целые числа: 12 и -12. Противоположные рациональные числа – это 3211 и -3211, а также 8,128 и 8,128, 0,(18901) и 0,(18901) и др. Противоположными могут быть и иррациональные числа, например, значения числовых выражений 2+1 и -2+1.

    Противоположными иррациональными числами также будут e и -e .

    Основные свойства противоположных чисел

    Таким числам присущи определенные свойства. Ниже мы дадим их список с пояснениями.

    Определение 2

    1. Если исходное число положительно, то противоположное ему будет отрицательно.

    Это утверждение очевидно и следует из графика выше: такие числа находятся по разные стороны отсчета на координатной прямой. Если вы позабыли понятия положительных и отрицательных чисел, посмотрите материал, что мы публиковали раньше.

    Из этого правила можно вывести другое очень важное утверждение. В буквенном виде его запись выглядит следующим образом: для любого положительного a будет верно (a)=a. Покажем на примере, почему это важно.

    Возьмем число 5. С помощью координатной прямой можно увидеть, что ему противоположно число -5, и наоборот. Используя обозначения, которые мы указали выше, запишем число, противоположное -5 как (-5). Получается, что (-5)=5. Отсюда вывод: противоположные числа отличаются друг от друга лишь наличием знака минус.

    2. Следующее свойство принято называть свойством симметричности. Его также можно вывести из самого определения противоположных чисел. Оно звучит так:

    Определение 3

    Если некоторое число a является противоположным числу b, тогда и b является противоположным числу a.

    Очевидно, что в дополнительных доказательствах это утверждение не нуждается.

    3. Третье свойство противоположных чисел гласит:

    Определение 4

    Каждое действительное число имеет только одно противоположное число.

    Это утверждение вытекает из того, что точкам координатной прямой не может соответствовать много чисел сразу.

    Определение 5

    4. Модули противоположных чисел равны.

    Это следует из определения модуля. Логично, что точки на прямой, соответствующие любым противоположным числам, находятся на одном и то же расстоянии от точки отсчета.

    Определение 6

    5. Если мы сложим противоположные числа, то получим 0.

    В буквенном виде это утверждение выглядит как a+(a)=0.

    Пример 2

    Приведем примеры таких вычислений:

    890+(-890)=0 -45+45=0 7+(-7)=0

    Как видно, это правило работает для всех чисел – целых, рациональных, иррациональных и др.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,4 из 5 (18 голосов)