Перевод десятичной дроби в обыкновенную и наоборот: правило, примеры

Перевод десятичной дроби в обыкновенную и наоборот: правило, примеры

    Бывает, что для удобства расчетов нужно перевести обыкновенную дробь в десятичную и наоборот. О том, как это делать, мы поговорим в данной статье. Разберем правила перевода обыкновенных дробей в десятичные и обратно, а также приведем примеры.

    Перевод обыкновенных дробей в десятичные

    Мы будем рассматривать перевод обыкновенных дробей в десятичные, придерживаясь определенной последовательности. Во первых, рассмотрим, как в десятичные переводятся обыкновенные дроби со знаменателем, кратным 10: 10, 100, 1000 и т.д.Дроби с такими знаменателями, по сути, являются, более громоздкой записью десятичных дробей.

    Далее мы рассмотрим, как переводить в десятичные дроби обыкновенные дроби с любым, не только кратным 10, знаменателем. Отметим, что при обращении обыкновенных дробей в десятичные получаются не только конечные десятичные, но и бесконечные периодические десятичные дроби.

    Приступим!

    Перевод обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. в десятичные дроби

    Первым делом, скажем, что некоторые дроби нуждаются в определенной подготовке перед обращением в десятичный вид. В чем она заключается? Перед цифрой, стоящей в числителе, необходимо дописать столько нулей, чтобы количество цифр числителя стало равно числу нулей в знаменателе. Например, для дроби 3100 число 0 необходимо один раз дописать слева от 3 в числителе. Дробь 610, согласно изложенному выше правилу, не нуждается в доработке.

    Рассмотрим еще один пример, после  чего сформулируем правило, которым особенно удобно пользоваться на первых порах, пока опыта в обращении дробей не так много. Так, дробь 1610000 после дописывания нулей в числителе будет иметь вид 001510000. 

    Как перевести обыкновенную дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. в десятичную?

    Правило перевода обыкновенных правильных дробей в десятичные
    1. Записываем 0 и ставим после него запятую.
    2. Записываем число из числителя, которое получилось после дописывания нулей.

    Теперь перейдем к примерам.

    Пример 1. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

    Переведем обыкновенную дробь 39100 в десятичную.

    Сначала смотрим на дробь и видим, что никаких подготовительных действий проводить не нужно - количество цифр в числителе совпадает с количеством нулей в знаменателе.

    Следуя правилу, записываем 0, ставим после него десятичную запятую и записываем число из числителя. Получаем десятичную дробь 0,39.

    Разберем решение еще одного примера по этой теме.

    Пример 2. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

    Запишем дробь 10510000000 в виде десятичной дроби.

    Количество нулей в знаменателе равно 7, а в числителе только три цифры. Допишем перед числом в числителе еще 4 нуля:

    000010510000000

    Теперь записываем 0, ставим после него десятичную запятую и записываем число из числителя. Получаем десятичную дробь 0,0000105.

    Рассмотренные во всех примерах дроби - обыкновенные правильные дроби. Но как перевести неправильную обыкновенную дробь в десятичную? Сразу скажем, что необходимость в подготовке с дописыванием нулей для таких дробей отпадает. Сформулируем правило.

    Правило перевода обыкновенных неправильных дробей в десятичные
    1. Записываем число, которое находится в числителе.
    2. Десятичной запятой отделяем столько цифр справа, сколько нулей есть в знаменателе исходной обыкновенной дроби.

    Ниже приведем пример на использование этого правила.

    Пример 3. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

    Переведем дробь 56888038009100000 из обыкновенной неправильной в десятичную.

    Сначала запишем число из числителя:

    56888038009

    Теперь справа отделим десятичной запятой пять цифр (количество нулей в знаменателе - пять). Получим:

    568880,38009

    Следующий вопрос, который закономерно возникает: как перевести в десятичную дробь смешанное число, если знаменателем его дробной части является число 10, 100, 1000 и т.д. Для обращения в десятичную дробь такого числа можно воспользоваться следующим правилом. 

    Правило перевода смешанных чисел в десятичные дроби
    1. Выполняем подготовку дробной части числа, если это необходимо.
    2. Записываем целую часть исходного числа и ставим после него запятую.
    3. Записываем число из числителя дробной части вместе с дописанными нулями.

    Обратимся к примеру.

    Пример 4. Перевод смешанных чисел в десятичные дроби

    Переведем смешанное число 231710000 в десятичную дробь.

    В дробной части имеем выражение 1710000. Выполним его подготовку и допишем слева от числителя еще два нуля. Получим: 001710000.

    Теперь записываем целую часть числа и ставим после него запятую: 23,..

    После запятой записываем число из числителя вместе с нулями. Получаем результат:

    231710000=23,0017

    Перевод обыкновенных дробей в конечные и бесконечные периодические дроби

    Конечно, можно переводить в десятичные дроби и обыкновенные дроби со знаменателем, не равным 10, 100, 1000 и т.д.

    Часто дробь можно легко привести к новому знаменателю, а затем уже воспользоваться правилом, изложенным в первом пункте данной статьи. Например, достаточно умножить числитель и знаменатель дроби 25 на 2, и мы получим дробь 410, которая легко приводится к десятичному виду 0,4.

    Однако такой способ перевода обыкновенной дроби в десятичную удается использовать не всегда. Ниже рассмотрим, как поступать, если применить рассмотренный способ невозможно.

    Принципиально новый способ обращения обыкновенной дроби в десятичную сводится к делению числителя на знаменатель столбиком. Эта операция очень похожа на деление натуральных чисел столбиком, но имеет свои особенности.

    Числитель при делении представляется в виде десятичной дроби - справа от последней цифры числителя ставится запятая и дописываются нули. В получившемся частном десятичная запятая ставится тогда, когда заканчивается деление целой части числителя. Как именно работает этот способ, станет понятно после рассмотрения примеров.

    Пример 5. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

    Переведем обыкновенную дробь 6214 в десятичный вид.

    Представим число 621 из числителя в виде десятичной дроби, добавив после запятой несколько нулей. 621=621,00

    Теперь разделим столбиком 621,00 на 4. Первые три шага деления будут такими же, как при делении натуральных чисел, и мы получим.

    Когда мы добрались до десятичной запятой в делимом, а остаток отличен от нуля, ставим в частном десятичную запятую, и продолжаем делить, не обращая более внимания на запятую в делимом.

    В итоге мы получаем десятичную дробь 155,25, которая и является результатом обращения обыкновенной дроби 6214

    6214=155,25

    Рассмотрим решение еще одного примера, чтобы закрепить материал.

    Пример 6. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

    Обратим обыкновенную дробь 21800.

    Для этого в столбик разделим дробь 21,000 на 800. Деление целой части закончится на первом же шаге, поэтому сразу после него ставим в частном десятичную запятую и продолжаем деление, не обращая внимания на запятую в делимом до того момента, пока не получим остаток, равный нулю.

    В результате мы получили: 21800=0,02625.

    Но как быть, если при делении мы так и не получим в остатке 0. В таких случаях деление можно продолжать бесконечно долго. Однако, начиная с определенного шага, остатки будут периодически повторяться. Соответственно, будут повторяться и цифры в частном. Это значит, что обыкновенная дробь переводится в десятичную бесконечную периодическую дробь. Проиллюстрируем сказанное на примере.

    Пример 7. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

    Обратим обыкновенную дробь 1944 в десятичную. Для этого выполним деление столбиком.

    Мы видим, что при делении повторяются остатки 8 и 36. При этом в частном повторяются цифры 1 и 8.  Это и есть период в десятичной дроби. При записи эти цифры берутся в скобки. 

    Таким образом, исходная обыкновенная дробь переведена в бесконечную периодическую десятичную дробь.

    1944=0,43(18).

    Пусть перед нами несократимая обыкновенная дробь. К какому виду она приведется? Какие обыкновенные дроби переводятся в конечные десятичные, а какие - в бесконечные периодические? 

    Во первых, скажем, что если дробь удается привести к одному из знаменателей 10, 100, 1000.., то она будет иметь вид конечной десятичной дроби. Чтобы дробь приводилась к одному из таких знаменателей, ее знаменатель должен быть делителем хотя бы одного из чисел 10, 100, 1000 и т.д. Из правил разложения чисел на простые множители следует, что делитель чисел 10, 100, 1000 и т.д. должен, при разложении на простые множители, содержать лишь числа 2 и 5. 

    Подытожим сказанное:

    1. Обыкновенную дробь можно привести к виду конечной десятичной дроби, если ее знаменатель можно разложить на простые множители 2 и 5.
    2. Если кроме чисел 2 и 5 в разложении знаменателя присутствуют другие простые числа, дробь приводится к  виду бесконечной периодической десятичной дроби.

    Приведем пример.

    Пример 8. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

    Какая из данных дробей 4720, 712, 2156, 3117 переводится в конечную десятичную дробь, а какая - только в периодическую. Дадим ответ на этот вопрос, не выполняя непосредственно перевода обыкновенной дроби в десятичную.

    Дробь 4720, как легко заметить, умножением числителя и знаменателя на 5 приводится к новому знаменателю 100.

    4720=235100.  Отсюда делаем вывод, что данная дробь переводится в конечную десятичную дробь.

    Разложение знаменателя дроби 712 на множители дает 12=2·2·3. Так как простой множитель 3 отличен от 2 и от 5, данная дробь не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби, а будет иметь вид бесконечной периодической дроби.

    Дробь 2156, во-первых, нужно сократить. После сокращения на 7 получим несократимую дробь 38, разложение знаменателя которой на множители дает 8=2·2·2. Следовательно, это конечная десятичная дробь.

    В случае с дробью 3117 разложение знаменателя на множители представляет собой само простое число 17. Соответственно, эту дробь можно обратить в бесконечную периодическую десятичную дробь.

    Обыкновенную дробь нельзя перевести в бесконечную и непериодическую десятичную дробь

    Выше мы говорили только о конечных и бесконечных периодических дробях. Но может ли какая-либо обыкновенная дробь быть обращена в вид бесконечной непериодической дроби?

    Отвечаем: нет!

    Важно!

    При переводе бесконечной дроби в десятичную получается либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая десятичная дробь.

    Остаток от деления всегда меньше делителя. Другими словами, согласно теореме о делимости, если мы делим какое-то натуральное число на число q, то остаток деления в любом случае не может быть больше, чем q-1. После окончания деления возможна одна из следующих ситуаций:

    1. Мы получаем в остатке 0, и на этом деление заканчивается.
    2. Мы получаем остаток, который при последующем делении повторяется, в результате мы имеем бесконечную периодическую дробь. 

    Иных вариантов при обращении обыкновенной дроби в десятичную не может быть. Скажем также, что длина периода (количество цифр) в бесконечной периодической дроби всегда меньше, чем число цифр в знаменателе соответствующей обыкновенной дроби.

    Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби

    Теперь пришло время рассмотреть обратный процесс перевода десятичной дроби в обыкновенную. Сформулируем правило перевода, которое включает три этапа. Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?

    Правило перевода десятичных дробей в обыкновенные дроби
    1. В числитель записываем число из исходной десятичной дроби, отбросив запятую и все нули слева, если они есть.
    2. В знаменатель записываем единицу и за ней столько нулей, сколько цифр есть в исходной десятичной дроби после запятой.
    3. При необходимости сокращаем полученную обыкновенную дробь. 

    Рассмотрим применение данного правила на примерах.

    Пример 8. Перевод десятичных дробей в обыкновенные

    Представим число 3,025 в виде обыкновенной дроби.

    1. В числитель записываем саму десятичную дробь, отбросив запятую: 3025.
    2. В знаменателе пишем единицу, а после нее три нуля - именно столько цифр содержится в исходной дроби после запятой: 30251000.
    3. Полученную дробь 30251000 можно сократить на 25, в результате чего мы получим: 30251000=12140.
    Пример 9. Перевод десятичных дробей в обыкновенные

    Переведем дробь 0,0017 из десятичных в обыкновенные.

    1. В числителе запишем дробь 0,0017, отбросив запятую и нули слева. Получится 17.
    2. В знаменатель записываем единицу, а после нее пишем четыре нуля: 1710000. Данная дробь несократима.

    Если в десятичной дроби есть целая часть, то такую дробь можно сразу перевести в смешанное число. Как это сделать?

    Сформулируем еще одно правило.

    Правило перевода десятичных дробей в смешанные числа.
    1. Число, стоящее в дроби до запятой, записываем как целая часть смешанного числа.
    2. В числителе  записываем число, стоящее в дроби после запятой, отбросив нули слева, если они есть.
    3. В знаменателе дробной части дописываем единицу и столько нулей, сколько цифр есть в дробной части после запятой.

    Обратимся к примеру

    Пример 10. Перевод десятичной дроби в смешанное число

    Представим дробь 155,06005 в виде смешанного числа.

    1. Записываем число 155, как целую часть.
    2. В числителе записываем цифры после запятой, отбросив нуль. 
    3. В знаменателе записываем единицу и пять нулей

    Поучаем смешанное число: 1556005100000

    Дробную часть можно сократить на 5. Сокращаем, и получаем финальный результат:

    155,06005=155120120000

    Перевод бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби

    Разберем на примерах, как осуществлять перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные. Прежде чем начать, уточним: любую периодическую десятичную дробь можно перевести в обыкновенную.

    Самый простой случай - период дроби равен нулю. Периодическая дробь с нулевым периодом заменяется на конечную десятичную дробь, а процесс обращения такой дроби сводится к обращению конечной десятичной дроби.

    Пример 11. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

    Обратим периодическую дробь 3,75(0).

    Отбросив нули справа, получим конечную десятичную дробь 3,75.

    Обращая данную дробь в обыкновенную по алгоритму, разобранному в предыдущих пунктах, получаем:

    3,75(0)=3,75=375100=154.

    Как быть, если период дроби отличен от нуля? Периодическую часть следует рассматривать как сумму членов геометрический прогрессии, которая убывает. Поясним это на примере:

    0,(74)=0,74+0,0074+0,000074+0,00000074+..

    Для суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии существует формула. Если первый член прогрессии равен b, а знаменатель q таков, что 0<q<1, то сумма равна b1-q.

    Рассмотрим несколько примеров с применением данной формулы.

    Пример 12. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

    Пусть у нас есть периодическая дробь 0,(8) и нам нужно перевести ее в обыкновенную.

    Запишем:

    0,(8)=0,8+0,08+0,008+..

    Здесь мы имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию с первым членом 0,8 и знаменателем 0,1.

    Применим формулу:

    0,(8)=0,8+0,08+0,008+..=0,81-0,1=0,80,9=89

    Это и есть искомая обыкновенная дробь.

    Для закрепления материала рассмотрим еще один пример.

    Пример 13. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

    Обратим дробь 0,43(18).

    Сначала записываем дробь в виде бесконечной суммы:

    0,43(18)=0,43+(0,0018+0,000018+0,00000018..)

    Рассмотрим слагаемые в скобках. Эту геометрическую прогрессию можно представить в следующем виде:

    0,0018+0,000018+0,00000018..=0,00181-0,01=0,00180,99=189900.

    Полученное прибавляем к конечной дроби 0,43=43100 и получаем результат:

    0,43(18)=43100+189900

    После сложения данных дробей и сокращения получим окончательный ответ:

    0,43(18)=1944

    В завершение данной статьи скажем, что непериодические бесконечный десятичные дроби нельзя перевести в вид обыкновенных дробей.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter