Общее представление о делении натуральных чисел с остатком, частное и остаток, что такое остаток от деления

Общее представление о делении натуральных чисел с остатком

    В данном материале мы разберем, как разделить одно натуральное число на другое с остатком. Для начала сформируем общее представление о таком действии, определимся с терминами и обозначениями, а потом посмотрим, какие задачи можно решить с его помощью. В последнем пункте попробуем объяснить, какие связи существуют между понятиями делимого, делителя, неполного частного и остатка от деления.

    Общее представление о делении с остатком

    Ранее мы указывали, что сам процесс деления сводится к разъединению одного множества на два или несколько. Чаще всего мы встречаемся с делением на равные части, то есть множества, получившиеся в результате, будут одинаковыми. Но так разделить возможно далеко не всегда. К примеру, 8 конфет разделить поровну на троих детей не выйдет: у каждого будет по 2 конфеты, а две останутся лишними. В данном случае мы имеем остаток 2, то есть остались две конфеты. Этот пример отображает основной смысл деления с остатком. Запишем определение:

    Определение 1

    Разделить с остатком – значит представить исходное множество в виде некоторого числа равных множеств и еще одного дополнительного, элементов которого недостаточно для создания требуемого множества.  

    В чем состоит смысл деления с остатком?

    В случае натуральных чисел деление с остатком имеет следующий смысл. Мы уже знаем, что понятие натурального числа тесно связано с количеством чего-либо. Допустим, у нас есть некое число предметов (обозначим его a), а после его деления образуется остаток, условно d. У нас остались числа b и c. Есть два основных подхода к их обозначению:

    1) если b –количество элементов в каждом равном множестве, полученном после деления, то c – это количество множеств, которое у нас получилось.

    2) если  b – это количество множеств, то c – это число предметов в каждом из них.

    Поясним нашу мысль на конкретных числах. Допустим, натуральное число 13 было разделено на 4. В итоге мы имеем два числа – 3 и 1. Мы можем рассмотреть эту ситуацию с двух сторон:

    1) тринадцать предметов были сгруппированы по 4. У нас получилось 3 группы, а в исходном множестве остался всего 1 предмет;

    2) тринадцать предметов разложили по 4 группам. У нас получилось, что в каждой группе по 3 предмета, а остаток равен 1.

    Если натуральное число a всегда можно разделить с остатком на любое натуральное b, то можно выделить следующие ситуации:

    1. A можно разделить на b без остатка, то есть все предметы можно разделить на равные множества. При этом «лишних» у нас не останется, тогда d будет равно 0. Получается, что деление без остатка – это частный случай деления с остатком.

    2. A может быть меньше b. Тогда ни одного требуемого множества мы из него составить не можем, и число c будет равно нулю, а остаток равен a (то есть числу предметов в исходном множестве).

    3.  A может делиться на b с остатком. Тогдазначения a, b, c и d будут натуральными числами.

    Подводим итог:

    Определение 2

    Результат деления натуральных чисел a и b с остатком – это два числа c и d, которые либо оба являются натуральными, либо одно из них равно нулю.

    Основные понятия, используемые при делении с остатком

    Здесь мы определимся с основными терминами, которые будем использовать, если речь идет о делении с остатком.

    То натуральное число, которое делят на части, принято называть делимым, а то, на которое делят – делителем. Получившиеся в результате два числа мы называем соответственно остатком и неполным частным.  К примеру, если мы разделим 8 на 3, то в итоге неполным частным будет 2, и остатком тоже 2.

    Знак деления, используемый при решении примеров с остатком, аналогичен тому же знаку «разделить» (две точки, расположенные вертикально), что и при делении нацело. В некоторых источниках можно встретить обозначение «÷», смысл которого тот же самый. Так, числовое выражение 16:3 означает деление одного натурального числа на другое с остатком.

    Обозначим неполное частное буквой с, остаток – d, исходное число – a, а делитель – b. Тогда суть процесса деления в буквенном виде мы можем выразить как a:b=c (ост. d).

    Также можно записать это в виде схемы: делимое: делитель = неполное частное (ост. остаток).

    Из самого понятия о делении с остатком следует, что в любом случае остаток будет меньше делителя. Если бы он был равен ему или был нулевым, то это уже было бы деление нацело, поскольку у нас в итоге вышло бы несколько равных множеств.

    Задачи, в которых используется деление с остатком

    В результате процесса деления, описываемого в этой статье, всегда получаются два числа, одно из которых является остатком, а другое – неполным частным. Поэтому оно будет полезно для решения двух разных типов задач:

    1. Нахождение количества необходимых равных множеств, которые можно составить из заданного количества предметов, или же количества предметов в равных множествах, полученных в результате деления.

    Например:

    Пример 1

    У нас есть 67 шаров, которыми мы будем наряжать елки. Если на каждую елку нужно 15 шаров, сколько всего елок можно нарядить? Результат мы получим после деления с остатком.

    Другой пример:

    Пример 2

    У нас есть 162 книги, которые нужно упаковать в 40 ящиков. Число книг, которое мы будем класть в каждую коробку, можно определить в результате деления 162 на 40.

    Вычислять мы можем не только количество предметов, но и изменения величин (массы, времени, длины и др.)

    Например, на заводе произведено 6 113 л молока. Его нужно разлить в бутылки по 2 л. Мы можем вычислить неполное частное и понять, сколько бутылок будет в итоге. Или же если на производство какого-то изделия тратится 3 часа, то мы можем найти, сколько можно их выпустить за один восьмичасовой рабочий день.

    2. Задачи второго типа направлены на вычисление количества предметов в исходном множестве, которые остались после деления. Это могут быть не только предметы, но и величины.

    Например: 

    Пример 3

    У нас есть 197 конфет, которые раскладываются по коробкам. Мы знаем число этих коробок – оно равно 20. Деление 197 на 20 подскажет нам, сколько конфет остались неупакованными.

    Пример 4

    Чтобы изготовить бетонную плиту, надо израсходовать 750 кг цемента. Если мы закупили 12 900 кг, на сколько плит нам хватит? Результат мы вычислим в результате деления с остатком.

    Основные связи между понятиями делимого, делителя, неполного частного и остатка от деления

    Для установления этих связей сразу разберем конкретный пример.

    У нас есть некоторое множество предметов, обозначим его буквой a. Распределим его по кучкам, количество которых равно b. Всего в каждой кучке у нас будет c предметов. Остаток обозначим d. В буквенном виде это выражение можно записать как a:b=c (ост. d). Теперь проанализируем связи, которые есть в этом равенстве.

    Если у нас есть значения делителя, неполного частного и остатка, мы можем найти делимое. Если мы объединим все имеющиеся кучки и добавим к ним остаток, то получим множество из исходного количества предметов.

    Учитывая смысл умножения и сложения натуральных чисел, мы можем записать это в виде равенства c·b+d=a. А наличие у умножения и сложения переместительных свойств позволяет нам переформулировать его как a=b·c+d. Получается следующее правило:

    Определение 3

    Чтобы найти делимое, нужно сложить остаток с произведением делителя на неполное частное.

    Верное равенство, полученное в итоге, будет полезно для решения задач с неизвестным делимым, то есть таких, где нужно найти исходное число предметов. Приведем пример:

    Пример 5

    Вычислите делимое, если неполное частное равно одиннадцати, остаток двум, а делитель семи.

    Решение

    Имеем b=7, c=11 и d=2. Это все данные, которые нам нужны для вычислений. Подставим нужные значения: b·c+d=7·11+2. Следуя правильному порядку выполнения математических действий, получим в итоге 7·11+2=77+2=79 (если нужно, повторите основы умножения и сложения натуральных чисел).

    Ответ: делимое будет равно 79.

    Если нужно проверить верность результата действия деления с остатком, то для этого мы также проверяем справедливость равенства a=b·c+d.

    Если нам известны значения делимого, делителя и неполного частного, то мы можем найти остаток.

    Вспомним, что остаток от деления, который мы выше договорились обозначить буквой d, представляет собой число элементов, оставшееся в исходном множестве после его разделения на равные части. Значит, d=ab·c. Записать это равенство мы можем благодаря свойствам умножения и вычитания натуральных чисел. Сформулируем определение:

    Определение 4

    Чтобы найти остаток от деления одного натурального числа на другое, нужно вычесть из делимого произведение делителя на неполное частное.

    У нас получилось буквенное выражение d=ab·c, которое будет нам полезно при нахождении остатка от деления. Разберем такую задачу.

    Пример 6

    Мы разделили 67 на 15 и получили неполное частное 4. Вычислите остаток от деления.

    Решение 

    Имеем a=67, b=15, c=4. Если мы подставим в выражение ab·c исходные значения, то сможем подсчитать остаток: 6715·4. Поскольку 15·4=60, то 6715·4=6760=7.

    Ответ: остаток от деления равен 7.

    Мы также можем найти неполное частное, если знаем значение делимого, делителя и остатка. Исключим из исходного множества те элементы, которые образуют остаток. Благодаря свойствам вычитания натуральных чисел количество элементов в множестве мы теперь можем записать как ad. После этого уже можно произвести деление без остатка, в результате которого получится b множеств по c элементов в каждом. Мы получили равенство (ad):b=c. Его также можно записать в виде c=(ad):b.

    Определение 5

    Если нужно найти неполное частное, нужно из делимого вычесть остаток и результат разделить на делитель.

    Пример 7

    Мы разделили 221 на 52 и получили остаток 13. Вычислите неполное частное.

    Решение

    Отнимем остаток от делимого и результат разделим на делитель. Считаем: (22113):52=208:52=4 (для подсчета мы использовали метод подбора частного).

    Ответ: неполное частное равно 4.

    Осталось разобрать последний случай: как быть, если нужно найти делитель при известных значениях делимого, остатка и неполного частного? Начнем опять же с исключения остатка из делимого, то есть запишем a-d. Вспомнив смысл деления одного натурального числа на другое, запишем следующее равенство: (ad):c=b. Также будет верно b=(ad):c. Сформулируем правило:

    Определение 6

    Найти делитель можно, если вычесть из делимого остаток и получившуюся разность разделить на неполное частное.

    Возьмем пример решения такой задачи.

    Пример 8

    Было выполнено деление 877 на некоторое число с остатком 2, неполное частное при этом составило 35. Найдите значение делителя.

    Решение

    Вычтем остаток из делимого и получим 875. Результат нужно разделить на известное нам неполное частное 35. В итоге получится нужное нам значение делителя. Вычислим столбиком:

    Ответ: делитель равен 25.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,6 из 5 (18 голосов)