Натуральные числа - основы

Натуральные числа являются привычными человеку и интуитивно понятными, ведь они окружают нас с самого детства. В статье ниже мы дадим базовое представление о смысле натуральных чисел, опишем основные навыки их записи и чтения. Вся теоретическая часть будет сопровождаться примерами.

Общее представление о натуральных числах

На определенном этапе развития человечества возникла задача подсчета неких предметов и обозначение их количества, что, в свою очередь, потребовало нахождения инструмента для решения этой задачи. Таким инструментом и стали натуральные числа. Понятно и основное предназначение натуральных чисел – давать представление о количестве предметов или порядковом номере конкретного предмета, если речь идет о множестве.

Логично, что для использования человеком натуральных чисел, необходимо иметь способ их воспринимать и воспроизводить. Так, натуральное число можно озвучить или изобразить, что является естественными способами передачи информации.

Рассмотрим базовые навыки озвучивания (чтения) и изображения (записи) натуральных чисел.

Десятичная запись натурального числа

Вспомним, как изображаются следующие знаки (укажем их через запятую): $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$. Указанные знаки мы называем цифрами.

Теперь возьмем как правило, что при изображении (записи) любого натурального числа используются только указанные цифры без участия любых других символов. Пусть цифры при записи натурального числа имеют одинаковую высоту, записываются одна за другой в строчку и слева всегда находится цифра, отличная от нуля.

Укажем примеры правильной записи натуральных чисел: $703, 881, 13, 333, 1 023, 7, 500 001$. Отступы между цифрами не всегда одинаковы, об этом подробнее будет сказано ниже при изучении классов чисел. Заданные примеры показывают, что при записи натурального числа не обязательно должны присутствовать все цифры из указанного выше ряда. Некоторые из них или все могут повторяться.

Количественный смысл натуральных чисел

Как уже было сказано, натуральные числа изначально несут в себе, в том числе, количественный смысл. Натуральные числа, как инструмент нумерации, рассмотрены в теме о сравнении натуральных чисел.

Приступим к натуральным числам, записи которых совпадают с записями цифр, т.е.: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Представим некий предмет, например, такой: $\Psi$. Можно записать, что мы видим $1$ предмет. Натуральное число $1$читается как «один» или «единица». Термин «единица» имеет также и другое значение: нечто, что можно рассматривать как единое целое. Если есть множество, то любой элемент его можно будет обозначить единицей. К примеру, из множества мышей любая мышь – единица; любой цветок из множества цветов – единица.

Теперь представим: $\Psi \Psi$. Мы видим один предмет и еще один предмет, т.е. в записи это будет - $2$ предмета. Натуральное число $2$ читаем как «два».

Далее, по аналогии: $\Psi \Psi \Psi$ – $3$ предмета («три»), $\Psi \Psi \Psi \Psi$ – $4$ («четыре»), $\Psi \Psi \Psi \Psi \Psi$ – $5$ («пять»), $\Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi$ – $6$ («шесть»), $\Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi$ – $7$ («семь»), $\Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi$ – $8$ («восемь»), $\Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi \Psi$ – $9$ («девять»).

С указанной позиции функция натурального числа заключается в указании количества предметов.

Однозначные натуральные числа

Очевидный факт, что, записывая каждое из натуральных чисел, о которых выше велась речь $(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)$, мы используем один знак – одну цифру.

Однозначных натуральных чисел девять: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Двузначные и трехзначные натуральные числа

Например, натуральные числа $71, 64, 11$ – двузначные.

Рассмотрим, какой смысл заключен в двузначных числах. Опираться будем на уже известный нам количественный смысл однозначных натуральных чисел.

Введем такое понятие как «десяток».

Представим множество предметов, которое состоит из девяти и еще одного. В таком случае можно говорить об $1$ десятке («один десяток») предметов. Если представить один десяток и еще один, то речь пойдёт о $2$ десятках («два десятка»). Прибавив к двум десяткам еще один, получим три десятка. И так далее: продолжая добавлять по одному десятку, мы будем получать четыре десятка, пять десятков, шесть десятков, семь десятков, восемь десятков и, наконец, девять десятков.

Посмотрим на двузначное число, как на набор однозначных чисел, одно из которых записывается справа, другое – слева. Число слева будет обозначать количество десятков в составе натурального числа, а число справа – количество единиц. В случае, когда справа расположена цифра $0$, то мы говорим об отсутствии единиц. В вышеуказанном и заключается количественный смысл натуральных двузначных чисел. Всего их - $90$.

Например, $413, 222, 818, 750$ – трехзначные натуральные числа.

Чтобы понять количественный смысл трехзначных натуральных чисел, введем понятие «сотня».

Рассмотрим саму запись трехзначного числа: входящие в него однозначные натуральные числа записываются одно за другим слева направо. Крайнее правое однозначное число указывает на количество единиц; следующее однозначное число левее – на количество десятков; крайнее левое однозначное число – на количество сотен. Если в записи участвует цифра $0$, она показывает на отсутствие единиц и/или десятков.

Так, трехзначное натуральное число $402$ обозначает: $2$ единицы, $0$ десятков (отсутствуют десятки, не объединенные в сотни) и $4$ сотни.

По аналогии дается определение четырёхзначных, пятизначных и так далее натуральных чисел.

Многозначные натуральные числа

От всего вышесказанного теперь возможно перейти к определению многозначных натуральных чисел.

Одна тысяча – множество, включающее в себя десять сотен; один миллион состоит из тысячи тысяч; один миллиард – тысяча миллионов; один триллион – тысяча миллиардов. Еще более крупные множества также имеют названия, но использование их редко.

Аналогично принципу выше, мы можем рассмотреть любое многозначное натуральное число, как набор однозначных натуральных чисел, каждое из которых, находясь на определенном месте, свидетельствует о наличии и количестве единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч, миллионов, десятков миллионов, сотен миллионов, миллиардов и так далее (справа налево соответственно).

Например, многозначное число $4 912 305$ содержит в себе: $5$ единиц, $0$ десятков, три сотни, $2$ тысячи, $1$ десяток тысяч, $9$ сотен тысяч и $4$ миллиона.

Резюмируя, мы рассмотрели навык группировки единиц в различные множества (десятки, сотни и т.д.) и увидели, что цифры в записи многозначного натурального числа являются обозначением количества единиц в каждом из таких множеств.

Чтение натуральных чисел, классы

В теории выше мы обозначили названия натуральных чисел. В таблице $1$ укажем, как верно использовать названия однозначных натуральных чисел в речи и при буквенной записи:

Для грамотного прочтения и написания двузначных чисел, необходимо выучить данные таблицы $2$:

Для чтения прочих натуральных двузначных чисел будем использовать данные обеих таблиц, рассмотрим это на примере. Допустим, нам необходимо прочитать натуральное двузначное число $21$. Это число содержит в себе $1$ единицу и $2$ десятка, т.е. $20$ и $1$. Обратившись к таблицам, прочтем указанное число как «двадцать один», при этом союз «и» между словами произносить не нужно. Допустим, нам необходимо использовать указанное число $21$ в некотором предложении, указывая на количество предметов в родительном падеже: «нет $21$ яблока». Звучать в данном случае произношение будет следующим образом: «нет двадцати одного яблока».

Приведем для наглядности еще пример: число $76$, которое прочтется как «семьдесят шесть» и, к примеру – «семьюдесятью шестью тоннами».

Для того, чтобы читать трёхзначные числа, изучим данные таблицы $3$:

Чтобы полностью прочитать трехзначное число, также используем данные всех указанных таблиц. Например, дано натуральное число $305$. Данному числу соответствует $5$ единиц,$0$ десятков и $3$ сотни: $300$ и $5$. Взяв за основу таблицы, прочитаем: «триста пять» или в склонении по падежам, к примеру, так: «тремстам пяти метрам».

Прочтем еще одно число: $543$. Согласно правилам таблиц, звучать указанное число будет так: «пятьсот сорок три» или в склонении по падежам, к примеру, так: «нет пятисот сорока трех рублей».

Перейдем к общему принципу чтения многозначных натуральных чисел: чтобы прочесть многозначное число, необходимо разбить его справа налево в группы по три цифры, причем в крайней левой группе может быть $1, 2$ или $3$ цифры. Такие группы называют классами.

Крайний правый класс – класс единиц; затем следующий класс, левее – класс тысяч; далее – класс миллионов; потом следует класс миллиардов, за ним - класс триллионов. Следующие классы также имеют название, но натуральные числа, состоящие из большого количества знаков ($16, 17$ и более) редко используются на чтении, воспринимать их на слух довольно тяжело.

Для удобства восприятия записи классы отделяют друг от друга небольшим отступом. Например, $31 013 736, 134 678, 23 476 009 434, 2 533 467 001 222$.

Чтобы легко прочитать указанные натуральные числа, занесем их в таблицу:

Для прочтения многозначного числа называем по очереди числа, которые его составляют (слева направо по классам, добавляя название класса).  Название класса единиц не произносится, а также не произносятся те классы, которые составляют три цифры $0$. Если в составе одного класса слева присутствуют одна или две цифры $0$, то они при прочтении не используются никак. К примеру, $054$ прочтется как «пятьдесят четыре» или $001$ – как «один».

Таким образом, основой правильного прочтения многозначных чисел является навык разбивать многозначное число на классы, знание соответствующих названий и понимание принципа прочтения двух- и трехзначных чисел.

Разряды натурального числа, значение разряда

Как уже становится понятно из всего вышесказанного, от позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Т.е., например, цифра $3$ в составе натурального числа $314$ обозначает количество сотен, а именно –$3$ сотни. Цифра $2$ – количество десятков ($1$ десяток), а цифра $4$ – количество единиц ($4$ единицы). При этом мы будем говорить, что цифра $4$ находится в разряде единиц и является значением разряда единиц в заданном числе. Цифра 1 стоит в разряде десятков и служит значением разряда десятков. Цифра $3$ располагается в разряде сотен и является значением разряда сотен.

Разряды имеют свои названия, мы уже использовали их выше. Справа налево следуют разряды: единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч и т.д.

Для удобства запоминания можно использовать следующую таблицу (укажем $15$ разрядов):

Уточним такую деталь: количество разрядов в заданном многозначном числе такое же, как количество знаков в составе записи числа. К примеру, данная таблица содержит названия всех разрядов для числа, в котором $15$ знаков. Последующие разряды также имеют названия, но используются крайне редко и очень неудобны для восприятия на слух.

При помощи такой таблицы возможно наработать навык определения разряда, записывая заданное натуральное число в таблицу так, чтобы крайняя правая цифра была записана в разряде единиц и далее – в каждый разряд по цифре. К примеру, запишем многозначное натуральное число $56 402 513 674$ так:

Обратите внимание на цифру $0$, находящуюся в разряде десятков миллионов – она означает отсутствие единиц данного разряда.

Введем также еще понятия низшего и высшего разрядов многозначного числа.

Так, например, в числе$41 781$: низший разряд – разряд единиц; высший разряд – разряд десятков тысяч.

Логически следует, что возможно говорить о старшинстве разрядов относительно друг друга. Каждый последующий разряд при движении слева направо ниже (младше) предыдущего. И наоборот: при движении справа налево каждый следующий разряд выше (старше) предыдущего. К примеру, разряд тысяч старше разряда сотен, но младше разряда миллионов.

Уточним, что при решении некоторых практических примеров используется не само натуральное число, а сумма разрядных слагаемых заданного числа.

Кратко о десятичной системе счисления

Согласно данному определению, можно говорить о том, что, изучая выше натуральные числа и способ их записи, мы пользовались позиционной системой счисления. Особое место здесь играет число $10$. Счет мы ведем десятками: десять единиц составляют десяток, десяток десятков объединится в сотню и т.д. Число $10$ служит основанием этой системы счисления, и саму систему также называют десятичной.

Помимо нее, существуют и прочие системы счисления. Например, информатика использует двоичную систему. Когда же мы ведем счет времени, то задействуем шестидесятеричную систему счисления.