Доли, обыкновенные дроби: определения, обозначения, примеры, действия с дробями

Рассмотрение данной темы мы начнем с изучения понятия доли в целом, которое даст нам более полное понимание смысла обыкновенной дроби. Дадим основные термины и их определение, изучим тему в геометрическом толковании, т.е. на координатной прямой, а также определим список основных действий с дробями.

Доли целого

Представим некий предмет, состоящий из нескольких, совершенно равных частей. Например, это может быть апельсин, состоящий из нескольких одинаковых долек.

Очевидно, что доли могут быть разные. Чтобы наглядно пояснить это утверждение, представим два яблока, одно из которых разрезано на две равные части, а второе – на четыре. Ясно, что размеры получившихся долей у разных яблок будут различаться.

Доли имеют свои названия, которые зависят от количества долей, составляющих целый предмет. Если предмет имеет две доли, то каждая из них будет определяться как одна вторая доля этого предмета; когда предмет состоит из трех долей, то каждая из них – одна третья и так далее.

Чтобы сократить запись, ввели следующие обозначения долей: половина - $\frac{1}{2}$ или $1/2$; треть - $\frac{1}{3}$ или $1/3$; одна четвертая доля - $\frac{1}{4}$ или $1/4$ и так далее. Записи с горизонтальной чертой используются чаще.

Понятие доли естественно расширяется с предметов на величины. Так, можно использовать для измерения небольших предметов доли метра (треть или одна сотая), как одной из единиц измерения длины. Аналогичным образом можно применить доли других величин.

Обыкновенные дроби, определение и примеры

Обыкновенные дробиприменяются для описания количества долей. Рассмотрим простой пример, который приблизит нас к определению обыкновенной дроби.

Представим апельсин, состоящий из $12$ долек. Каждая доля тогда будет – одна двенадцатая или $1/12$. Две доли – $2/12$; три доли – $3/12$ и т.д. Все $12$ долей или целое число будет выглядеть так: $12/12$. Каждая из используемых в примере записей является примером обыкновенной дроби.

Согласно данному определению, примерами обыкновенных дробей могут быть записи: $4/9$, $\frac{11}{34}, \frac{917}{54}$. А такие записи: $\frac{\sqrt{11}}{5}, \frac{1,9}{4,3}$ не являются обыкновенными дробями.

Числитель и знаменатель

Т.е. числитель – число, расположенное сверху над чертой обыкновенной дроби (или слева от наклонной черты), а знаменатель – число, расположенное под чертой (справа от наклонной черты).

Какой же смысл несут в себе числитель и знаменатель? Знаменатель обыкновенной дроби указывает на то, из скольких долей состоит один предмет, а числитель дает нам информацию о том, каково рассматриваемое количество таких долей. К примеру, обыкновенная дробь $\frac{7}{54}$ указывает нам на то, что некий предмет состоит из $54$ долей, и для рассмотрения мы взяли $7$ таких долей.

Натуральное число как дробь со знаменателем 1

Знаменатель обыкновенной дроби может быть равен единице. В таком случае возможно говорить, что рассматриваемый предмет (величина) неделим, являет собой нечто целое. Числитель в подобной дроби укажет, какое количество таких предметов взято, т.е. обыкновенная дробь вида $\frac{m}{1}$ имеет смысл натурального числа $m$. Это утверждение служит обоснованием равенства $\frac{m}{1} = m$.

Запишем последнее равенство так: $m = \frac{m}{1}$.  Оно даст нам возможность любое натуральное число использовать в виде обыкновенной дроби. К примеру, число $74$ – это обыкновенная дробь вида $\frac{74}{1}$.

Черта дроби как знак деления

 Использованное выше представление данного предмета как n долей является не чем иным, как делением на n равных частей. Когда предмет разделен на $n$ частей, мы имеем возможность разделить его поровну между $n$ людьми – каждый получит свою долю.

В случае, когда мы изначально имеем $m$ одинаковых предметов (каждый разделен на $n$ частей), то и эти $m$ предметов возможно поровну разделить между $n$ людьми, дав каждому из них по одной доле от каждого из $m$ предметов. При этом у каждого человека будет m долей $\frac{1}{n}$, а $m$ долей $\frac{1}{n}$ даст обыкновенную дробь $\frac{m}{n}$. Следовательно, обыкновенную дробь $\frac{m}{n}$ можно использовать, чтобы обозначать деление m предметов между $n$ людьми.

Полученное утверждение устанавливает связь между обыкновенными дробями и делением. И эту связь можно выразить следующим образом: черту дроби возможно иметь в виду в качестве знака деления, т.е. $m/n = m : n$.

При помощи обыкновенной дроби мы можем записать итог деления двух натуральных чисел. К примеру, деление $7$ яблок на $10$ человек запишем как $\frac{7}{10}$: каждому человеку достанется семь десятых долей.

Равные и неравные обыкновенные дроби

Логичным действием является сравнение обыкновенных дробей, ведь очевидно, что, к примеру, $\frac{1}{8}$ яблока отлична от $\frac{7}{8}$.

Результатом сравнения обыкновенных дробей может быть: равны или неравны.

Пример равных дробей: $\frac{1}{3}$ и $\frac{4}{12}$ – поскольку выполняется равенство $1 ·12 = 3 · 4$.

В случае, когда выясняется, что дроби не являются равными, обычно необходимо также узнать, какая из данных дробей меньше, а какая – больше. Чтобы дать ответ на эти вопросы, обыкновенные дроби сравнивают, приводя их к общему знаменателю и затем сравнив числители.

Дробные числа

Каждая дробь – это запись дробного числа, что по сути - просто «оболочка», визуализация смысловой нагрузки. Но все же для удобства мы объединяем понятия дроби и дробного числа, говоря просто – дробь.

Дроби на координатном луче

Все дробные числа, как и любое другое число, имеют свое уникальное месторасположение на координатном луче: существует однозначное соответствие между дробями и точками координатного луча.

Чтобы на координатном луче найти точку, обозначающую дробь $\frac{m}{n}$, необходимо от начала координат отложить в положительном направлении m отрезков, длина каждого из которых составит $\frac{1}{n}$ долю единичного отрезка. Отрезки можно получить, разделив единичный отрезок на n одинаковых частей.

Как пример, обозначим на координатном луче точку $М$, которая соответствует дроби $\frac{14}{10}$.  Длина отрезка, концами которого является точка $О$ и ближайшая точка, отмеченная маленьким штрихом, равна $\frac{1}{10}$ доле единичного отрезка. Точка, соответствующая дроби $\frac{14}{10}$, расположена в удалении от начала координат на расстояние $14$ таких отрезков.

Если дроби равны, т.е. им соответствует одно и то же дробное число, тогда эти дроби служат координатами одной и той же точки на координатном луче. К примеру, координатам в виде равных дробей $\frac{1}{3}, \frac{2}{6}, \frac{3}{9}, \frac{5}{15}, \frac{11}{33}$ соответствует одна и та же точка на координатном луче, располагающаяся на расстоянии трети единичного отрезка, отложенного от начала отсчета в положительном направлении.

Здесь работает тот же принцип, что и с целыми числами: на горизонтальном, направленном вправо координатном луче точка, которой соответствует большая дробь, разместится правее точки, которой соответствует меньшая дробь. И наоборот: точка, координата которой – меньшая дробь, будет располагаться левее точки, которой соответствует бОльшая координата.

Правильные и неправильные дроби, определения, примеры

В основе разделения дробей на правильные и неправильные лежит сравнение числителя и знаменателя в пределах одной дроби.

Приведем примеры: - правильные дроби:

- неправильные дроби:

Также возможно дать определение правильных и неправильных дробей, опираясь на сравнение дроби с единицей.

Например, дробь $\frac{8}{12}$ – правильная, т.к. $\frac{8 }{12}< 1$. Дроби $\frac{53}{2}$ и $\frac{14}{14}$ являются неправильными, т.к. $\frac{53}{2} > 1$, а $\frac{14}{14} = 1$.

Немного углубимся в размышление, почему дроби, в которых числитель больше или равен знаменателю получили название «неправильных».

Рассмотрим неправильную дробь $\frac{8}{8}$: она сообщает нам, что взято $8$ долей предмета, состоящего из $8$ долей. Таким образом, из имеющихся восьми долей мы можем составить целый предмет, т.е. заданная дробь $\frac{8}{8}$ по сути представляет целый предмет: $\frac{8}{8}=1$. Дроби, в которых числитель и знаменатель равны, полноценно заменяет натуральное число $1$.

Рассмотрим также дроби, в которых числитель превосходит знаменатель: $\frac{11}{5}$ и $\frac{36}{3}$. Понятно, что дробь $\frac{11}{5}$ сообщает о том, что из нее мы можем составить два целых предмета и еще останется одна пятая доля. Т.е. дробь $\frac{11}{5}$ – это $2$ предмета и еще $\frac{1}{5}$ от него. В свою очередь, $\frac{36}{3}$ – дробь, означающая по сути $12$ целых предметов.

Указанные примеры дают возможность сделать вывод, что неправильные дроби возможно заменить натуральными числами (если числитель без остатка делится на знаменатель: $\frac{8}{8} = 1; \frac{36}{3} = 12$) или суммой натурального числа и правильной дроби (если числитель не делится на знаменатель без остатка: $\frac{11}{5} = 2 + \frac{1}{5}$). Вероятно, потому такие дроби и получили название «неправильных».

Здесь также мы сталкиваемся с одним из важнейших навыков работы с числами.

Также отметим, что существует тесная взаимосвязь между неправильными дробями и смешанными числами.

Положительные и отрицательные дроби

Выше мы говорили о том, что каждой обыкновенной дроби соответствует положительное дробное число. Т.е. обыкновенные дроби – это положительные дроби. Например, дроби $\frac{5}{17},\frac{ 6}{98}, \frac{64}{79}$ – положительные, и, когда необходимо особо подчеркнуть «положительность» дроби, она записывается с использованием знака плюс: $+\frac{5}{17}, +\frac{6}{98}, +\frac{64}{79}$.

Если же обыкновенной дроби присвоить знак минус, то полученная запись будет являться записью отрицательного дробного числа, и мы говорим в таком случае об отрицательных дробях. Например, $\frac{-8}{17}, \frac{-78}{14}$ и т.д.

Положительная и отрицательная дроби$\frac{m}{n}$ и $-\frac{m}{n}$ – противоположные числа. Например, дроби $\frac{7}{8}$ и $-\frac{7}{8}$ являются противоположными.

Положительные дроби, как и любые положительные числа в целом, означают прибавление, изменение в сторону увеличения. В свою очередь, отрицательные дроби соответствуют расходу, изменению в сторону уменьшения.

Если мы рассмотрим координатную прямую, то увидим, что отрицательные дроби расположены левее точки начала отсчета. Точки, которым соответствуют дроби, являющиеся противоположными ($\frac{m}{n}$ и $-\frac{m}{n}$), располагаются на одинаковом расстоянии от начала отсчета координат $О$, но по разные стороны от нее.

Здесь также отдельно скажем о дробях, записанных в виде $\frac{0}{n}$. Такая дробь равна нулю, т.е. $\frac{0}{n}= 0$.

Суммируя все вышесказанное, мы подошли к важнейшему понятию рациональных чисел.

Действия с дробями

Перечислим основные действия с дробями. В общем и целом, суть их та же, что имеют соответствующие действия с натуральными числами

1. Сравнение дробей – данное действие мы рассмотрели выше.
2. Сложение дробей – результатом сложения обыкновенных дробей является обыкновенная дробь (в частном случае сокращаемая до натурального числа).
3. Вычитание дробей – действие, обратно сложению, когда по одной известной дроби и заданной сумме дробей определяется неизвестная дробь.
4. Умножение дробей – это действие можно описать как нахождение дроби от дроби. Результат умножения двух обыкновенных дробей – обыкновенная дробь (в частном случае равная натуральному числу).
5. Деление дробей – действие, обратное умножению, когда мы определяем дробь, на которую необходимо умножить заданную, чтобы получить известное произведение двух дробей.