Деление целых чисел: правила, примеры

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Данная статья рассказывает о том, как делить без остатка целые числа, то есть нацело. Будут введены термины и обозначения для дальнейшего описания чисел, деление положительных и отрицательных чисел. В итоге произведем проверку вычислений.

Термины и обозначения

При делении целых чисел используются те же термины, что и при описании натуральных чисел.

Определение 1

Делимое – это число, над которым совершают деление.

Делитель – число, на которое делят.

Частное – результат деления.

Знак деления обозначают двоеточием « $:$ » или знаком $\div$ . Его расположение после делимого и перед делителем. Запись с использованием символов выглядит так: $a : b$ . Результат записывается после знака равно « $=$ ». Если при делении числа $а$ на $b$ получаем $с$ , тогда запись выглядит в виде равенства $a : b = c$ . Деление иначе называют частным.

Деление целых чисел

Между умножением и делением натуральных чисел существует связь. Это связано с тем, что при делении можно найти частное, которое при обратном действии будет считаться множителем. Иначе можно записать, что деление целых чисел служит нахождением одного из целых множителей.

Отсюда делаем вывод, что произведение целых чисел $a$ и $b$ с частным, равным с, можно представить обратным действием деления $с$ на $b$ с частным равным $а$ . Если произведение чисел $5$ и $- 7$ равна $- 35$ , отсюда имеем, что частное $(- 35) : 5$ равняется $- 7$ , а $(- 35) : (- 7)$ с результатом $5$ .

Частное от деления считается целым тогда, когда получается результат без остатка, то есть целое число $a$ должно делиться на число $b$ с целым частным в результате.

Правила деления целых чисел

Смысл деления необходим для утверждения того, что одним из двух множителей является частным, а другой просто множителем. Таким образом не найти неизвестный множитель, имея известный множитель и произведение. Равенство $6 \cdot (- 7) = - 42$ говорит о том, что результаты $(- 42) : 6$ и $(- 42) : (- 7)$ равняются $- 7$ и $6$ соответственно. При известном произведении $45$ , а одного из множителей $- 5$ , то смысл деления не даст прямого результата другого множителя.

Можно сделать вывод, что необходимо использовать правила, которые позволяют производить деление целых чисел. Они позволят делить целые и натуральные числа.

Деление целых положительных чисел

Целыми положительными числами называют натуральные числа, поэтому деление целых положительных чисел производится, исходя из правил деления натуральных чисел. Рассмотрим несколько примеров для детального просмотра деления целых положительных чисел.

Пример 1

Произвести деление целого положительного $104$ на целое положительное $8$ .

Решение

Для упрощения процесса деления можно представить число $104$ в виде суммы $80 + 24$ ,теперь необходимо применить правило деления суммы на данное число. Получим $104 : 8 = (80 + 24) : 8 = 80 : 8 + 24 : 8 = 10 + 3 = 13$ .

Ответ: $104 : 8 = 13$ .

Деление целых положительных чисел — Пример 2

Правило деления целых отрицательных чисел, примеры

Для формулировки правила необходимо применить рассуждения. Если необходимо поделить целые отрицательные числа $a$ на $b$ , то искомое частное получится равным $с$ . Форма записи: $a : b = c$ . После чего можно выяснить, чему равна абсолютная величина $с$ .

Исходя из смысла деления равенство $b \cdot c = a$ справедливо. Значит, $|b \cdot c| = |a|$ . Благодаря свойствам модуля, можно записать равенство $|b \cdot c| = |b| \cdot |c|$ , значит, и $|b| \cdot |c| = |a|$ . Отсюда получаем, что $|c| = |a| : |b|$ . Абсолютная величина частного от деления равняется частному от деления модулей делимого и делителя.

Для определения знака числа с необходимо выяснить, какие знаки находятся перед делимым и делителем.

Исходя из смысла деления целых чисел, равенство $b \cdot c = a$ справедливо. Правило умножения целых чисел говорит о том, что частное должно быть положительным. Иначе, $b \cdot c$ будет производиться по правилам целых отрицательных чисел. Частное $с$ от деления целых отрицательных целых чисел является положительным числом.

Объединить в правило деления: чтобы разделить целое отрицательное число на отрицательное, необходимо разделить делимый на делитель по модулю. Эта запись будет выглядеть так $a : b = |a| : |b|$ , при $а$ и $b$ равными отрицательным числам.

Рассмотрим несколько примеров деления отрицательных чисел.

Пример 3

Разделить $- 92$ на $- 4$ .

Решение

Используя правила деления целых отрицательных чисел, получим, что следует делить по модулю. Получим, что $(- 92) : (- 4) = |- 92| : |- 4| = 92 : 4 = 23$

Ответ: $(- 92) : (- 4) = 23$ .

Правило деления целых отрицательных чисел, примеры — Пример 4

Правило деления целых чисел с разными знаками, примеры

Выделим правило деления целых чисел, содержащих разные знаки.

Если делим целое числа $a$ и $b$ с разными знаками, то получаем число $с$ . Необходимо определить знак получаемого числа. Следует записать $|c| = |a| : |b|$ .

Чтобы определить смысл деления равенства $b \cdot c = a$ , необходимо рассмотреть два варианта. Предположительно существует вариант, когда $а$ – отрицательное, $b$ – положительное или $а$ – положительное, а $b$ – отрициательное. Любой из случаев в итоге имеет отрицательный результат. Следуя из правил умножения, имеем, что $b$ и $с$ отрицательные, тогда произведение будет являться положительным. Если $b$ положительное, $с$ – отрицательное, тогда произведение является отрицательным числом.

Для формулировки применимо правило деления целых чисел с разными знаками. Отсюда получим: чтобы разделить целые числа с разными знаками, необходимо разделить делимое на делитель по модулю, перед полученным результатом поставить « $-$ ». Получаем, что $a$ и $b$ являются целыми числами с разными знаками. Это запишем, как $a : b = - (|a| : |b|)$ .

Детально разберем примеры, где необходимо применить правило деления целых чисел с разными знаками.

Пример 5

Разделить $56$ на $- 4$ .

Решение

Исходя из правила, имеем, что $56$ необходимо разделить на $4$ по модулю. Значит, получим, что $56 : 4 = 14$ . Для определения знака результата необходимо посмотреть наличие « $-$ » перед делителем и делимым. Если имеется только один знак минуса, то результат запишем как отрицательное значение. То есть, $- 14$ .

Ответ: $56 : (- 4) = - 14$ .

Пример 5

Выполнить деление $- 1625$ на $25$ .

Решение

Данный пример показывает правильное деление целых чисел с разными знаками. Для этого необходимо применить правило

$(- 1625) : 25 = - (|- 1625| : |25|) = - (1625 : 25) = - 65$

Деление числа $1625$ можно производить в столбик или с помощью представления его в виде суммы $1500 + 125$ , применив правило деления полученной суммы на число.

Ответ: $(- 1 625) : 25 = - 65$ .

Деление нуля на целое число

Деление нуля на любое целое число рассматривается как отдельная тема, так как имеет свои нюансы. По правилу частное от деления на любое целое число, отличное от нуля, равно нулю. Иначе можем записать, что $0 : b = 0$ , где значение числа $b$ отлично от нуля.

Для углубления в правило рассмотрим некоторые пояснения.

Допустим, что результат деления нуля на целое число равен с, тогда равенство $b \cdot c = 0$ считается верным. Произведение в итоге дает ноль тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Если по условию b не равно нулю, тогда множитель $с = 0$ . Отсюда следует, что частное, полученное делением нуля на целое число, отличное от нуля, равняется нулю.

Например, при делении нуля на целое число, частное получаем равное нулю: $0 : 4$ или $0 : - 908$ . Оба результаты будут равны нулю.

Не делить на нуль

Деление целого числа на нуль не определяется, поэтому и запрещено производить деление на $0$ .

Например, если при делении целого числа а на ноль получим число с, то из смысла деления должно быть справедливо равенство $c \cdot 0 = a$ . Правило умножения на нуль говорит о том, что $c \cdot 0 = 0$ при любом значении $с$ . Сравнивая оба равенства, получим, что, если делимое анне равно нулю, тогда равенство $c \cdot 0 = a$ считается неверным. Поэтому можно делать вывод о том, что деление на нуль производить нельзя.

Возможно ли деление нуля на самого себя? Допустим, что при делении получаем целое число с, тогда равенство $c \cdot 0 = 0$ должно быть верным. Оно считается действительным при любом значении $с$ . Результат деления $0$ на $0$ принимается любое значение. Для уменьшения многозадачности данный вариант не рассматривается.

Проверка результата деления целых чисел

Проверку осуществляют умножением. Чтобы произвести проверку деления, нужно полученное частное умножить на делитель, если в результате получается число, равное делимому, тогда результат считается правильным.

Рассмотрим на примере решение с проверкой результата.

Пример 6

Результат деления $72$ на $- 9$ равен $- 7$ . Произвести проверку данного выражения.

Решение

Выполняем проверку деления. Необходимо произвести умножение полученного частного и делителя, то есть $(- 7) \cdot (- 9) = 63$ . Проверка показала, что $63$ отлично от $72$ , значит действие выполнено неверно.

Ответ: деление выполнено неверно.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.