Деление целых чисел с остатком: правила, примеры, деление без остатка, вычисление остатка от деления

Деление целых чисел с остатком: правила, примеры

    Статья разбирает понятие деления целых чисел с остатком. Докажем теорему о делимости целых чисел с остатком и просмотрим связи между делимыми и делителями, неполными частными и остатками. Рассмотрим правила, когда производится деление целых чисел с остатками, рассмотрев подробно на примерах. В конце решения выполним проверку.

    Общее представление о делении целых чисел с остатками

    Деление целых чисел с остатком  рассматривается как обобщенное деление с остатком натуральных чисел. Это выполняется потому, что натуральные числа – это составная часть целых.

    Деление с остатком произвольного числа говорит о том, что целое число a делится на число b, отличное от нуля. Если b=0, тогда не производят деление с остатком.

    Также как и деление натуральных чисел с остатком, производится деление целых чисел a и b, при b отличном от нуля, на c и d. В этом случае a и b называют делимым и делителем, а d – остатком деления, с – целое число или неполное частное.

    Если считать, что остаток – это целое неотрицательное число, тогда его величина не больше модуля числа b. Запишем таким образом: 0db. Данная цепочка неравенств используется при сравнении 3 и более количества чисел.

    Если с – неполное частное, тогда d – остаток от деления целого числа a на b, кратко можно зафиксировать: a:b=c (ост. d).

    Остаток при делении чисел a на b возможен нулевой, тогда говорят, что a делится на b нацело, то есть без остатка. Деление без остатка считается частным случаем деления.

    Если делим ноль на некоторое число, получаем в результате ноль. Остаток деления также будет равен нулю. Это можно проследить из теории о делении нуля на целое число.

    Теперь рассмотрим смысл деления целых чисел с остатком.

    Известно, что целые положительные числа – натуральные, тогда при делении с остатком получится такой же смысл, как и при  делении натуральных чисел с остатком.

    При делении целого отрицательного числа а на целое положительное b имеется смысл. Рассмотрим на примере. Представив ситуацию, когда имеем долг предметов в количестве a, которое необходимо погасить b человек. Для этого необходимо каждому внести одинаковый вклад. Чтобы определить величину долга для каждого, необходимо обратить внимание на величину  частного с.  Остаток d говорит о том, что известно количество предметов после расплаты с долгами.

    Рассмотрим на примере с яблоками. Если 2 человека должны 7 яблок. В случае, если посчитать, что каждый должен вернуть по 4 яблока, после полного расчета  у них останется 1 яблоко. Запишем в виде равенства это: (7):2=4 (ост. 1).

    Деление любого числа а на целое не имеет смысла, но возможно как вариант.

    Теорема о делимости целых чисел с остатком

    Мы выявили, что а – это делимое, тогда b – это делитель, с – неполное частное, а d – остаток. Они между собой связаны. Эту связь покажем при помощи равенства a=b·c+d. Связь между ними характеризуется теоремой делимости с остатком.

    Теорема

    Любое целое число может быть представлено только через целое и отличное от нуля число b таким образом: a=b·q+r, где q и r – это некоторые целые числа. Тут имеем 0rb.

    Докажем возможность существования a=b·q+r.

    Доказательство

    Если существуют два числа a и b, причем a делится на b  без остатка, тогда  из определения следует, что имеется число q, что будет верно равенство a=b·q. Тогда равенство можно считать верным: a=b·q+r при r=0.

    Если посчитать, что b – целое положительное число, тогда, следует выбрать целое q так, чтобы произведение b·q не было больше значения числа а, а произведение b·(q+1) было больше, чем a

    Тогда необходимо взять q такое, чтобы данное неравенством b·q<a<b·(q+1) было верным. Необходимо вычесть b·q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0<ab·q<b.

    Имеем, что значение выражения ab·q больше нуля и не больше значения числа b, отсюда следует, что  r=ab·q. Получим, что число а можем представить в виде a=b·q+r.

    Теперь необходимо рассмотреть возможность представления a=b·q+r для отрицательных значений b.

    Модуль числа получается положительным, тогда получим a=b·q1+r, где значение q1 некоторое целое число, r – целое число, которое подходит условию 0r<b.  Принимаем q=q1, получим, что a=b·q+r для отрицательных b.

    Доказательство единственности

    Допустим, что a=b·q+rq и r являются целыми числами с верным условием 0r<b, имеется еще одна форма записи в виде a=b·q1+r1, где q1 и r1 являются некоторыми числами, где q1q , 0r1<b.

    Когда из левой и правых частей вычитается неравенство, тогда получаем 0=b·(qq1)+rr1, которое равносильно r-r1=b·q1-q. Так как используется модуль, получим равенство r-r1=b·q1-q.

    Заданное условие говорит о том, что 0r<b и 0r1<b запишется в виде r-r1<b. Имеем, что  q и q1 – целые, причем  qq1, тогда q1-q1. Отсюда имеем, что b·q1-qb. Полученные неравенства r-r1<b и b·q1-qb указывают на то, что такое равенство  в виде r-r1=b·q1-q невозможно в данном случае.

    Отсюда следует, что по-другому число a быть представлено не может, кроме как такой записью a=b·q+r.

    Связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком

    При помощи равенства a=b·c+d можно находить неизвестное делимое a, когда известен делитель b  с неполным частным c и остатком d.

    Пример 1

    Определить делимое, если при деление получим -21, неполное частное 5 и остаток 12.

    Решение

    Необходимо вычислить делимое a при известном делителе b=21, неполным частным с=5 и остатком d=12. Нужно обратиться к равенству a=b·c+d, отсюда получим a=(21)·5+12. При соблюдении порядка выполнения действий умножим -21 на 5, после этого получаем (21)·5+12=105+12=93.

    Ответ: -93.

    Связь между делителем и неполным частным и остатком можно выразить при помощи равенств: b=(ad):cc=(ad):b и  d=ab·c. С их помощью мы можем вычислить делитель, неполное частное и остаток. Это сводится к постоянному нахождению остатка от деления целого целых чисел a на b с известным делимым, делителем и неполным частным. Применяется формула d=ab·c. Рассмотрим решение подробно.

    Пример 2

    Найти остаток от деления целого числа -19 на целое 3 при известном неполном частном равном -7.

    Решение

    Чтобы вычислить остаток от деления, применим формулу вида d=ab·c. По условию имеются все данные a=19, b=3, c=7.  Отсюда получим d=ab·c=193·(7)=19(21)=19+21=2 (разность 19(21). Данный пример вычислен по правилу вычитания целого отрицательного числа.

    Ответ: 2.

    Деление с остатком целых положительных чисел, примеры

    Все целые положительные числа являются натуральными. Отсюда следует, что деление выполняется по всем правилам деления  с остатком натуральных чисел. Скорость выполнения деления с остатком натуральных чисел важна, так как на нем основано не только деление положительных, но и правила деления целых произвольных.

    Самый удобный метод деления – это столбик, так как проще и быстрее получить неполное или просто частное с остатком. Рассмотрим решение более подробно.

    Пример 3

    Произвести деление 14671 на 54.

    Решение

    Данное деление необходимо выполнять столбиком:

    То есть неполное частное получается равным 271, а остаток – 37.

     Ответ:  14 671:54=271. (ост. 37)

    Правило деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное, примеры

    Чтобы выполнить деление с остатком  положительного числа на целое отрицательное, необходимо сформулировать правило.

    Определение 1

    Неполное частное от деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно неполному частному  от деления модулей чисел a на b. Тогда остаток  равен остатку при делении a на b.

    Отсюда имеем, что неполное частное от деления целого полодительного числа на целое отрицательное число  считают целым неположительным числом.

    Получим алгоритм:

    • найти модули делимого и делителя;
    • делить модуль делимого на модуль делителя, тогда получим неполное частное  и
    • остаток;
    • запишем число противоположное полученному.

    Рассмотрим на примере алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное.

    Пример 4

    Выполнить деление с остатком 17 на  -5.

    Решение

    Применим алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное. Необходимо разделить 17 на -5 по модулю. Отсюда получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2.

    Получим, что искомое число от деления 17 на -5 =-3 с остатком равным 2.

     Ответ:  17:(5)=3 (ост. 2).

    Пример 5

    Необходимо разделить 45 на -15.

    Решение

    Необходимо разделить числа по модулю. Число 45 делим на 15, получим частное 3 без остатка. Значит, число 45 делится на 15 без остатка. В ответе получаем -3, так как деление производилось по модулю.

    45:(-15)=45:-15=-45:15=-3

    Ответ: 45:(15)=3.

    Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное, примеры

    Формулировка правила деления с остатком выглядит следующим образом.

    Определение 2

    Для того, чтобы получить неполное частное с при делении целого отрицательного a на положительное b, нужно применить противоположное данному числу и вычесть из него 1, тогда остаток d будет вычисляться по формуле: d=ab·c.

    Исходя из правила можно сделать вывод, что при делении получим целое неотрицательное число. Для точности решения применяют алгоритм деления а на b с остатком:

    • найти модули делимого и делителя;
    • делить по модулю;
    • записать противоположное данному число и вычесть 1;
    • использовать формулу для остатка d=ab·c.

    Рассмотрим на примере решения, где применяется данный алгоритм.

    Пример 6

    Найти неполное частное и остаток от деления -17 на 5.

    Решение

    Делим заданные числа по модулю. Получаем, что при делении частное равно 3, а остаток 2. Так как получили 3, противоположное -3. Необходимо отнять 1.

    31=4.

    Искомое значение полчаем равное -4.

    Чтобы вычислить остаток, необходимо a=17, b=5, c=4, тогда d=ab·c=175·(4)=17(20)=17+20=3.

    Значит, неполным частным от деления является число -4 с остатком равным 3.

    Ответ: (17):5=4 (ост. 3).

    Пример 7

    Разделить целое отрицательное число -1404 на положительное 26.

    Решение

    Необходимо произвести деление столбиком и по мудулю.

    Мы получили деление модулей чисел без остатка. Это значит, что деление выполняется без остатка, а искомое частное =-54.

     Ответ:  (1 404):26=54.

    Правило деления с остатком целых отрицательных чисел, примеры

    Необходимо сформулировать правило деления с остатком целых отрицательных чисел.

    Определение 3

    Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b, необходимо произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1, тогда сможем произвести вычисления по формуле d=ab·c.

    Отсюда следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел будет число положительное.

    Сформулируем данное правило в виде алгоритма:

    • найти модули делимого и делителя;
    • разделить модуль делимого на модуль делителя  с получением неполного частного с
    • остатком;
    • прибавление 1 к неполному частному;
    • вычисление остатка, исходя из формулы d=ab·c.

    Данный алгоритм рассмотрим на примере.

    Пример 8

    Найти неполное частное и остаток при делении -17 на -5.

    Решение

    Для правильности решения применим алгоритм для деления с остатком. Для начала раздели числа по модулю. Отсюда получим, что неполное частное =3, а остаток равен 2. По правилу необходимо сложить неполное частное и 1. Получим, что 3+1=4. Отсюда получим, что неполное частное от деления заданных чисел равно 4.

    Для вычисления остатка мы применим формулу. По условию имеем, что a=17, b=5, c=4, тогда, используя формулу, получим d=ab·c=17(5)·4=17(20)=17+20=3. Искомый ответ, то есть остаток, равен 3, а неполное частное равно 4.

    Ответ: (17):(5)=4 (ост. 3).

    Проверка результата деления целых чисел с остатком

    После выполнение деления чисел с остатком необходимо выполнять проверку. Данная проверка подразумевает 2 этапа. Вначале идет проверка остатка d на неотрицательность, выполнение условия 0d<b. При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап  не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a=b·c+d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

    Рассмотрим на примерах.

    Пример 9

    Произведено деление -521 на -12. Частное равно 44, остаток 7. Выполнить проверку.

    Решение

    Так как остаток – это число положительное, то его величина является меньше, чем модуль делителя. Делитель равен -12, значит, его модуль равен 12. Можно переходить к следующему пункту проверки.

    По условию имеем, что a=521b=12c=44d=7. Отсюда вычислим b·c+d, где b·c+d=12·44+7=528+7=521. Отсюда следует, что равенство верное. Проверка пройдена.

    Пример 10

    Выполнить проверку деления (17):5=3 (ост. 2). Верно ли равенство?

    Решение

    Смысл первого этапа заключается в том, что необходимо проверить деление целых чисел с остатком. Отсюда видно, что действие произведено неверно, так как дан остаток, равный -2. Остаток не является отрицательным числом.

    Имеем, что второе условие выполненное, но недостаточное для данного случая.

    Ответ: нет.

    Пример 11

    Число -19 разделили на -3. Неполное частное равно 7, а остаток 1. Проверить, верно ли выполнено данное вычисление.

    Решение

    Дан остаток, равный 1. Он положительный. По величине меньше модуля делителя, значит, первый этап выполняется. Перейдем ко второму этапу.

    Вычислим значение выражения b·c+d. По условию имеем, что b=3, c=7, d=1, значит, подставив числовые значения, получим b·c+d=3·7+1=21+1=20.  Следует, что a=b·c+d равенство не выполняется, так как в условии дано а=-19.

    Отсюда следует вывод, что деление произведено с ошибкой.

    Ответ: нет.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter