Вращение твердого тела

Вращение твердого тела

    Предлагаем вашему вниманию кинематическое описание процесса вращения твердого тела. Для этого нам понадобятся такие понятия как угловое перемещение Δφ, угловое ускорение ε и угловая скорость ω:

    ω=φt, (t0),ε=φt, (t0).

    Углы мы будем выражать в радианах. За положительное направление вращения примем направление против часовой стрелки.

    Когда твердое тело вращается относительно неподвижной оси, все точки этого тела перемещаются с одинаковыми угловыми скоростями и ускорениями.

    Рисунок 1.23.1. Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр O.

    Если угловое перемещение Δφ мало, то модуль вектора линейного перемещения s некоторого элемента массы Δm вращающегося твердого тела можно выразить соотношением:

    s=rϕ,

    в котором r – модуль радиус-вектора r.

    Между модулями угловой и линейной скоростей можно установить связь посредством равенства

    v=rω.

    Модули линейного и углового ускорения также взаимосвязаны:

    a=aτ=rε.

    Векторы v и a=aτ направлены по касательной к окружности радиуса r.

    Также нам необходимо учесть возникновение нормального или центростремительного ускорения, которое всегда возникает при движении тел по окружности.

    Определение 1

    Модуль ускорения выражается формулой:

    an=v2r=ω2r.

    Если разделить вращающееся тело на небольшие фрагменты Δmi, обозначить расстояние до оси вращения через ri, а модули линейных скоростей через vi, то запись формулы кинестетической энергии вращающегося тела будет иметь вид:

    Ek=iνmvi22=im(riω)22=ω22imiri2.

    Определение 2

    Физическая величина imiri2 носит название момента инерции I тела относительно оси вращения. Она зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения:

    I=imiri2.

    В пределе при Δm0 эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в СИ – килограмм-метр в квадрате (кг·м2). Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде:

    Ek=Iω22.

    В отличие от выражения, которое мы использовали для описания кинестетической энергии поступательно движущегося тела mv22, вместо массы m в формулу входит момент инерции I. Также мы принимаем во внимание вместо линейной скорости v угловую скорость ω.

    Если для динамики поступательного движения основную роль играет масса тела, то в динамике вращательного движения имеет значение момент инерции. Но если масса – это свойство рассматриваемого твердого тела, которое не зависит от скорости движения и других факторов, то момент инерции зависит от того, вокруг какой оси вращается тело. Для одного и того же тела момент инерции будет определяться различными осями вращения.

    В большинстве задач считается, что ось вращения твердого тела проходит через центр его массы.

    Положение xC, yC центра масс для простого случая системы из двух частиц с массами m1 и m2, расположенными в плоскости XY в точках с координатами x1, y1 и x2, y2 определяется выражениями:

    xC=m1x1+m2x2m1+m2, yC=m1y1+m2y2m1+m2.

    Рисунок 1.23.2. Центр масс C системы из двух частиц.

    В векторной форме это соотношение принимает вид:

    rC=m1r1+m2r2m1+m2.

    Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор rC центра масс определяется выражением

    rC=mirimi.

    Если мы имеем дело с твердым телом, состоящим из одной части, то в приведенном выражении суммы для rC необходимо заменить интегралами.

    Центр масс в однородном поле тяготения совпадает с центром тяжести. Это значит, что если мы возьмем тело сложной формы и подвесим его за центр масс, то в однородном поле тяготения это тело будет находиться в равновесии. Отсюда следует способ определения центра масс сложного тела на практике: его необходимо последовательно подвесить за несколько точек, одновременно отмечая по отвесу вертикальные линии.

    Рисунок 1.23.3. Определение положения центра масс C тела сложной формы. A1, A2, A3 точки подвеса.

    На рисунке мы видим тело, которое подвешено за центр масс. Оно находится в состоянии безразличного равновесия. В однородном поле тяготения равнодействующая сил тяжести приложена к центру масс.

    Мы можем представить любое движение твердого тела как сумму двух движений. Первое поступательное, которое производится со скоростью центра масс тела. Второе – это вращение относительно оси, которая проходит через центр масс.

    Пример 1

    Предположим. Что у нас есть колесо, которое катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Все точки колеса во время движения перемещаются параллельно одной плоскости. Такое движение мы можем обозначить как плоское.

    Теорема о движении центра масс

    Определение 3

    Кинестетическая энергия вращающегося твердого тела тела при плоском движении будет равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, которая проведена через центр масс и располагается перпендикулярно плоскостям, в которых движутся все точки тела:

    Ek=mvC22+ICω22,

    где m – полная масса тела, IC – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

    Рисунок 1.23.4. Качение колеса как сумма поступательного движения со скоростью vC и вращения с угловой скоростью ω=vCR относительно оси O, проходящей через центр масс.

    В механике используется теорема о движении центра масс.

    Теорема 1

    Любое тело или несколько взаимодействующих тел, которые представляют собой единую систему, обладают центром масс. Этот центр масс под воздействием внешних сил перемещается в пространстве как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы.

    На рисунке мы изобразили движение твердого тела, на которое действуют силы тяжести. Центр масс тела движется по траектории, которая близка к параболе, тогда как траектория остальных точек тела является более сложной.

    Рисунок 1.23.5. Движение твердого тела под действием силы тяжести.

    Теорема Штейнера о параллельном переносе оси вращения

    Рассмотрим случай, когда твердое тело движется вокруг некоторой неподвижной оси. Момент инерции этого тела инерции I можно выразить через момент инерции IC этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.

    Рисунок 1.23.6. К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения.

    Пример 2

    Для примера возьмем твердое тело, форма которого произвольна. Обозначим центр масс С. Выберем систему координат ХУ с началом координат 0. Совместим центр масс и начало координат.

    Одна из осей проходит через центр масс С. Вторая ось пересекает произвольно выбранную точку Р, которая расположена на расстоянии d от начала координат. Выделим некоторый малый элемент массы данного твердого тела Δmi.

    По определению момента инерции:

    IC=mi(xi2+yi2),IP=mi(xi-a)2+yi-b2

    Выражение для IP можно переписать в виде:

    IP=mi(xi2+yi2)+mi(a2+b2)-2amixi-2bmiyi.

    Два последних члена уравнения обращаются в нуль, так как начало координат в нашем случае совпадает с центром масс тела.

    Так мы пришли к формуле теоремы Штейнера о параллельном переносе оси вращения.

    Теорема 2

    Для тела, которое вращается относительно произвольной неподвижной оси, момент инерции, согласно теореме Штейнера, равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

    IP=IC+md2,

    где m – полная масса тела.

    Рисунок 1.23.7. Модель момента инерции.

    На рисунке ниже изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

    Рисунок 1.23.8. Моменты инерции IC некоторых однородных твердых тел.

    Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

    В тех случаях, когда мы имеем дело с твердым телом, которое вращается относительно неподвижной оси, мы можем обобщить второй закон Ньютона. На рисунке ниже мы изобразили твердое тело произвольной формы, вращающееся относительно некоторой оси, проходящей через точку О. Ось вращения расположена перпендикулярно плоскости рисунка.

    Δmi – это произвольный малый элемент массы, на который оказывают воздействие внешние и внутренние силы. Равнодействующая всех сил есть Fi. Ее можно разложить на две составляющие: касательную составляющую Fiτ и радиальную Fir. Радиальная составляющая Fir создает центростремительное ускорение an.

    Рисунок 1.23.9. Касательная Fiτ и радиальная Fir составляющие силы Fi действующей на элемент Δmi твердого тела.

    Касательная составляющая Fiτ вызывает тангенциальное ускорение aiτ массы Δmi. Второй закон Ньютона, записанный в скалярной форме, дает

    miaiτ=Fiτsin θ или miriε=Fisin θ,

    где ε=aiτri – угловое ускорение всех точек твердого тела.

    Если обе части написанного выше уравнения умножить на ri, то мы получим:

    miri2ε=Firisin θ=Fili=Mi.

    Здесь li – плечо силы, Fi,Mi – момент силы.

    Теперь нужно аналогичные соотношения записать для всех элементов массы Δmi вращающегося твердого тела, а затем просуммировать левые и правые части. Это дает:

    miri2ε=Mi.

    Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на различные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех внешних сил и суммы моментов всех внутренних сил.

    M=Miвнешн+Miвнутр.

    Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, поэтому в правой части остается только сумма моментов всех внешних сил, которые мы будем обозначать через M. Так мы получили основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

    Определение 4

    Угловое ускорение ε и момент сил M в этом уравнении являются величинами алгебраическими.

    Iε=M

    Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки.

    Возможна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины ω, ε, M определяются как векторы, направленные по оси вращения.

    Закон сохранения момента импульса

    В разделе, посвященном поступательному движению тела, мы ввели понятие импульса тела p. По аналогии с поступательным движением для вращательного движения мы вводим понятие момента импульса.

    Определение 5

    Момент импульса вращающегося тела – это физическая величина, которая равняется произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения.

    Для обозначения момента импульса используется латинская буква L

    L=lω

    Поскольку ε=ωt; t0, уравнение вращательного движения можно представить в виде:

    M=Iε=Iωt или Mt=Iω=L.

    Получаем:

    M=Lt; (t0).

    Мы получили это уравнение для случая, когда I = const. Но оно будет справедливо и тогда, когда момент инерции тела будет изменяться в процессе движения.

    Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L=Iω относительно данной оси сохраняется: L=0, если M=0.

    Определение 6

    Следовательно,

    L=lω=const.

    Так мы пришли к закону сохранения момента импульса.

    Пример 3

    В качестве примера приведем рисунок, на котором изображено неупругое вращательное столкновение дисков, которые насажены на общую для них ось.

    Рисунок 1.23.9. Неупругое вращательное столкновение двух дисков. Закон сохранения момента импульса: I1ω1=(I1+I2)ω.

    Мы имеем дело с замкнутой системой. Для любой замкнутой системы закон сохранения момента импульса будет справедливым. Он выполняется и в условиях экспериментов по механике, и в условиях космоса, когда планеты движутся по своим орбитам вокруг звезды.

    Мы можем записать уравнение динамики вращательного движения как для неподвижной оси, так и для оси, которая перемещается равномерно или с ускорением. Вид уравнения не изменится и в том случае, если ось движется ускоренно. Для этого должно выполняться два условия: ось должна проходить через центр массы тела, а ее направление в пространстве остается неизменным.

    Пример 4

    Предположим, что у нас есть тело (шар или цилиндр), которое катится по наклонной плоскости с некоторым трением.

    Рисунок 1.23.10. Качение симметричного тела по наклонной плоскости.

    Ось вращения O проходит через центр масс тела. Моменты силы тяжести mg и силы реакции N относительно оси O равны нулю. Момент M создает только сила трения: M = FтрR.

    Уравнение вращательного движения:

    ICε=ICaR=M=FтрR,

    где ε – угловое ускорение катящегося тела, a – линейное ускорение его центра масс, IC – момент инерции относительно оси O, проходящей через центр масс.

    Второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс записывается в виде:

    ma=mg sin α-Fтр.

    Исключая из этих уравнений Fтр, получим окончательно:

    α=mg sin θICR2+m.

    Из этого выражения видно, что быстрее будет скатываться с наклонной плоскости тело, обладающее меньшим моментом инерции. Например, у шара IC=25mR2, а у сплошного однородного цилиндра IC=12mR2. Следовательно, шар будет скатываться быстрее цилиндра.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter