Упругие и неупругие соударения

Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса при упругом ударе способствует нахождению решения механических задач с неизвестными действующими силами, то есть задания с ударным взаимодействием тел.

Применение такого вида задач используется в технике и физике элементарных частиц.

При столкновении действуют неизвестные кратковременные ударные силы. Закон Ньютона не разрешит ударное взаимодействие, а позволит только исключить сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновений без промежуточных значений.

Механика применяет такое определения абсолютно упругих и абсолютно неупругих ударов.

Абсолютно неупругий удар. Скорость

Сохранение механической энергии отсутствует, так как переходит во внутреннюю, то есть нагревание.

Попадание пули в баллистический маятник – характерный пример действия энергии абсолютно неупругого удара, где
$М$ – подвешенный ящик с песком, показанный на рисунке $1.21.1$, $m$ – горизонтально летящая пуля с $\overrightarrow{v}$ скоростью движения, застревающая в ящике. Определение скорости пули возможно по отклонению маятника.

Если скорость ящика с пулей обозначить как $\overrightarrow{u}$, тогда, используя формулу сохранения импульса, получаем:

$mv=(M+m)u; u=\frac{m}{M+m}v$.

Когда пуля застревает в песке, то механическая энергия теряется:

$∆E=\frac{m{v}^2}{2}-\frac{(M+m)u^2}{2}=\frac{M}{M+m}·\frac{m{v}^2}{2}$.

$\frac{M }{(M + m)}$ обозначает долю кинетической энергии выпущенной пули и прошедшей во внутреннюю энергию системы. Тогда

$\frac{∆E}{E_0}=\frac{M}{M+m}=\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{m}{M}}}$.

Использование формулы подходит для задач с наличием баллистического маятника и другого неупругого соударения разномасных тел.

Когда $m << М \frac{∆E}{E_0}\to \frac{1}{2}$, тогда происходит переход кинетической энергии во внутреннюю. Когда $m = M \frac{∆E}{E_0}\to 0$, только половина кинетической переходит во внутреннюю. Если имеется неупругое соударение движущегося тела большей массой с неподвижным, имеющим $(m>>М)$, отношение принимает вид $\frac{∆E}{E_0}\to 0$.

Расчет движения маятника производится по закону сохранения механической энергии. Получаем

$\frac{(M+m)u^2}{2}=(M+m)gh; u^2=2gh$.

В данном случае $h$ является максимальной высотой подъема маятника. Отсюда следует, что

$v=\frac{M+m}{m}\sqrt{2gh}$.

При известной высоте $h$ возможно определение скорости пули $v$.

Рисунок $1.21.1.$ Баллистический маятник.

Абсолютно упругий удар

Большинство случаев столкновения атомов подчинено законам абсолютного упругого центрального удара. Закон сохранения импульса и механической энергии сохраняются при таком ударе. Для примера используется столкновение при помощи центрального удара бильярдных шаров. Один из них находится в состоянии покоя, как изображено подробно на рисунке $1.21.2.$

Рисунок $1.21.2.$ Абсолютно упругий центральный удар шаров.

Встречаются случаи, когда массы $m_1$ и $m_2$ не равны. Тогда, используя закон сохранения механической энергии, получаем

$\frac{m_1{v}_1^2}{2}=\frac{m_1{v}_1^2}{2}+\frac{m_2{v}_2^2}{2}$.

За $v_1$ принимается скорость при абсолютном упругом ударе первого шара перед столкновением, а v$2_{}=0$ скорость второго шара, $u_1$ и $u_2$ – скорости после столкновения.

Полученная система из двух уравнений позволяет найти неизвестные скорости u$1_{}$ и $u_2$ шаров после столкновения.

$u_1=\frac{\left(m_1-m_2\right)v_1}{m_1+m_2}; u_2=\frac{2m_1{v}_1}{m_1+m_2}$.

Если массы равны, то есть, тогда происходит остановка первого шара $(u_1=0)$, а второй продолжает движение $u_2=v_1$_. происходит обмен скоростями и импульсами.

При наличии нулевой скорости второго шара $(v_2\ne 0)$, задача могла бы свестись к предыдущей с переходим в новую систему отсчета с равномерным и прямолинейным движением и скоростью $v_2$ относительно «неподвижной» системы. В такой системе второй шар покоится до удара, а первый имеет скорость $v_1\text{'}=v_1–v_2$_. После определения скорости шаров $v_1$ и $v_2$ производится переход к «неподвижной» системе.

С помощью закона сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновений только с известными скоростями до соударения.

Рисунок $1.21.3.$ Модель упругие и неупругие соударения.

При столкновении атомов или молекул применяется понятие центрального или лобового удара, который редко применим на практике. Нецентральный упругий удар не направлен по одной прямой.

Частный случай нецентрального упругого удара – соударение бильярдных шаров с одинаковой массой при обездвиженном одним из них, а другим направленным не по линии центра. Данная ситуация приведена на рисунке $1.21.4.$

Рисунок $1.21.4.$ Нецентральное упругое соударение шаров с одинаковой массой, где $d$ является прицельным расстоянием.

Нецентральное ударение характеризуется тем, что разлетатание шаров происходит под углом относительно друг друга. Чтобы определить скорости $v_1$ и $v_2$ после соударения, необходимо знать нахождение положения линии центров в момент удара или предельное расстояние $d$, изображенное на рисунке $1.21.4.$

Предельное расстояние

При одинаковых массах шаров векторы $\overrightarrow{v_1}$ и $\overrightarrow{v_2}$ имеют перпендикулярное направление друг к другу. Это возможно показать с помощью применения законов сохранения импульса и энергии. Если $m_1=m_2=m$, тогда определение примет вид

$\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}; v_1^2=u_1^2+u_2^2$.

Первое равенство значит, что векторы $\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}$ образуют треугольник, называемый диаграммой импульсов, второе – для его разрешения применяют теорему Пифагора. Угол, располагаемый между $\overrightarrow{u_1}$ и $\overrightarrow{u_2}$, равняется $90$ градусов.

Рисунок $1.21.5.$ Модель соударения упругих шаров