Импульс тела

На примере рассмотрим свободное падение тела с начальной скоростью ${\mathrm{v}}_0$ под действием силы тяжести за промежуток времени $t$. При направлении оси $OY$ вертикально вниз импульс силы тяжести ${\mathrm{F}}_{\mathrm{т}}=\mathrm{mg}$, действующий за время $t$, равняется $mgt$. Такой импульс равняется изменению импульса тела:

$F_{т}t=mgt=\Delta p=m(v–v_0)$, откуда $v=v_0 + gt$.

Запись совпадает с кинематической формулой определения скорости равноускоренного движения. По модулю сила не изменяется из всего интервала $t$. Когда она изменяема по величине, тогда формула импульса требует подстановки среднего значения силы $F_{ср}$ из временного промежутка $t$. Рисунок $1.16.2$ показывает, каким образом определяется импульс силы, которая зависит от времени.

Рисунок $1.16.2.$ Вычисление импульса силы по графику зависимости $F\left(t\right)$

Необходимо выбрать на временной оси интервал $\Delta t$, видно, что сила $F\left(t\right)$ практически неизменна. Импульс силы $F\left(t\right)\Delta t$ за промежуток времени $\Delta t$ будет равняться площади заштрихованной фигуры. При разделении временной оси на интервалы на $\Delta t_i$ на промежутке от от $0$ до $t$, сложить импульсы всех действующих сил из этих промежутков $\Delta t_i$_, тогда суммарный импульс силы будет равняться площади образования при помощи ступенчатой и временной осей.

Применив предел $(\Delta t_i\to 0)$, можно найти площадь, которая будет ограничиваться графиком $F\left(t\right)$ и осью $t$. Использование определения импульса силы по графику применимо с любыми законами, где имеются изменяющиеся силы и время. Данное решение ведет к интегрированию функции $F\left(t\right)$ из интервала $[0; t]$.

Рисунок $1.16.2$ показывает импульс силы, находящийся на интервале от $t_1=0$ с до $t_2=10$.

Из формулы получим, что $F_{ср}(t_2-t_1)=\frac{1}{2}{F}_{max}(t_2-t_1)=100 Н·с=100 кг·м/с$.

То есть, из примера видно $F_{ср}=\frac{1}{2}{F}_{max}=10 Н$.

Для примера приводится рисунок $1.16.2$, где нарисована схема импульсов мяча, отскакивающего от стены. При подаче мяч с массой $m$ со скоростью $\overrightarrow{v_1}$ налетает на поверхность под углом α к нормали и отскакивает со скоростью $\overrightarrow{v_2}$ с углом $\beta$. При ударе в стену мяч подвергался действию силы $\overrightarrow{F}$, направленной также, как и вектор $∆\overrightarrow{p}$.

Рисунок $1.16.3.$ Отскакивание мяча от шероховатой стенки и диаграмма импульсов.

Если происходит нормальное падение мяча с массой $m$ на упругую поверхность со скоростью $\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{v}$, тогда при отскоке она изменится на $\overrightarrow{v_2}=-\overrightarrow{v}$. Значит, за определенный промежуток времени импульс изменится и будет равен $∆\overrightarrow{p}=-2m\overrightarrow{v}$. Используя проекции на $ОХ$, результат запишется как $\Delta p_x=–2m{v}_x$. Из рисунка $1.16.3$ видно, что ось $ОХ$ направлена от стенки, тогда следует $v_x<0$ и $\Delta p_x>0$. Из формулы получим, что модуль $\Delta p$ связан с модулем скорости, который принимает вид $\Delta p=2mv$.