Механические волны

Механические волны

    Когда в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды происходит возбуждение колебаний частиц, результатом взаимодействия атомов и молекул среды становится передача колебаний от одной точки к другой с конечной скоростью.

    Определение 1

    Волна – это процесс распространения колебаний в среде.

    Виды механических волн

    Различают следующие виды механических волн:

    Определение 2

    Поперечная волна: частицы среды смещаются в направлении, перпендикулярном направлению распространения механической волны.

    Пример: волны, распространяющиеся по струне или резиновому жгуту в натяжении (рисунок 2.6.1);

    Определение 3

    Продольная волна: частицы среды смещаются в направлении распространения механической волны.

    Пример: волны, распространяющиеся в газе или упругом стержне (рисунок 2.6.2).

    Интересно, что волны на поверхности жидкости включают в себя и поперечную, и продольную компоненты.

    Замечание 1

    Укажем важное уточнение: когда механические волны распространяются, они переносят энергию, форму, но не переносят массу, т.е. в обоих видах волн переноса вещества в направлении распространения волны не происходит. Распространяясь, частицы среды совершают колебания около положений равновесия. При этом, как мы уже сказали, волны переносят энергию, а именно энергию колебаний от одной точки среды к другой.

    Рисунок 2.6.1. Распространение поперечной волны по резиновому жгуту в натяжении.

    Рисунок 2.6.2. Распространение продольной волны по упругому стержню.

    Модель твердого тела

    Характерная черта механических волн – их распространение в материальных средах в отличие, например, от световых волн, способных распространяться и в пустоте. Для возникновения механического волнового импульса необходима среда, имеющая возможность запасать кинетическую и потенциальную энергии: т.е. среда должна иметь инертные и упругие свойства. В реальных средах эти свойства получают распределение по всему объему. К примеру, каждому небольшому элементу твердого тела присуща масса и упругость. Самая простая одномерная модель такого тела представляет из себя совокупность шариков и пружинок (рисунок 2.6.3).

    Рисунок 2.6.3. Простейшая одномерная модель твердого тела.

    В этой модели инертные и упругие свойства разделены. Шарики имеют массу m, а пружинки – жесткость k. Такая простая модель дает возможность описать распространение продольных и поперечных механических волн в твердом теле. При распространении продольной волны шарики смещаются вдоль цепочки, а пружинки растягиваются или сжимаются, что есть деформация растяжения или сжатия. Если подобная деформация происходит в жидкой или газообразной среде, ее сопровождает уплотнение или разрежение.

    Замечание 2

    Отличительная особенность продольных волн заключается в том, что они способны распространяться в любых средах: твердых, жидких и газообразных.

    Если в указанной модели твердого тела один или несколько шариков получают смещение перпендикулярно всей цепочке, можно говорить о возникновении деформации сдвига. Пружины, получившие деформацию в результате смещения, будут стремиться вернуть смещенные частицы в положение равновесия, а на ближайшие несмещенные частицы начнет оказываться влияние упругих сил, стремящихся отклонить эти частицы от положения равновесия. Итогом станет возникновение поперечной волны в направлении вдоль цепочки.

    В жидкой или газообразной среде упругая деформация сдвига не возникает. Смещение одного слоя жидкости или газа на некоторое расстояние относительно соседнего слоя не приведет к появлению касательных сил на границе между слоями. Силы, которые оказывают воздействие на границе жидкости и твердого тела, а также силы между соседними слоями жидкости всегда направлены по нормали к границе – это силы давления. Аналогично можно сказать и о газообразной среде.

    Замечание 3

    Таким образом, появление поперечных волн невозможно в жидкой или газообразной средах.

    В плане практического применения особый интерес представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой f и длиной волны λ. Синусоидальные волны получают распространение в однородных средах с некоторой постоянной скоростью υ.

    Запишем выражение, показывающее зависимость смещения y(x, t) частиц среды из положения равновесия в синусоидальной волне от координаты x на оси OX, вдоль которой распространяется волна, и от времени t

    y(x, t)=Acos ωt-xυ=Acos ωt-kx.

    В приведенном выражении k=ωυ – так называемое волновое число, а ω=2πf является круговой частотой.

    Бегущая волна

    Рисунок 2.6.4 демонстрирует «моментальные фотографии» поперечной волны в момент времени t и t+Δt. За промежуток времени Δt волна перемещается вдоль оси OX на расстояние υΔt. Подобные волны носят название бегущих волн.

    Рисунок 2.6.4. «Моментальные фотографии» бегущей синусоидальной волны в момент времени t и t+Δt.

    Определение 4

    Длина волны λ – это расстояние между двумя соседними точками на оси OX, испытывающими колебание в одинаковых фазах.

    Расстояние, величина которого есть длина волны λ, волна проходит за период Т. Таким образом, формула длины волны имеет вид: λ=υT, где υ является скоростью распространения волны.

    С течением времени t происходит изменение координаты x любой точки на графике, отображающем волновой процесс (к примеру, точка А на рисунке 2.6.4), при этом значение выражения ωtkx остается неизменным. Спустя время Δt точка А переместится по оси OX на некоторое расстояние Δx=υΔt. Таким образом: 

    ωt-kx=ω(t+t)-k(x+x)=const или ωt=kx.

    Из указанного выражения следует:

    υ=xt=ωk или k=2πλ=ωυ.

    Становится очевидно, что бегущая синусоидальная волна имеет двойную периодичность – во времени и пространстве. Временной период является равным периоду колебаний T частиц среды, а пространственный период равен длине волны λ.

    Определение 5

    Волновое число k=2πλ – это пространственный аналог круговой частоты ω=-2πT.

    Сделаем акцент на том, что уравнение y(x,t)=Acos ωt+kx является описанием синусоидальной волны, получающей распространение в направлении, противоположном направлению оси OX, со скоростью υ=-ωk.

    Когда бегущая волна получает распространение, все частицы среды гармонически колеблются с некоторой частотой ω. Это означает, что как и при простом колебательном процессе, средняя потенциальная энергия, являющаяся запасом некоторого объема среды, есть средняя кинетическая энергия в том же объеме, пропорциональная квадрату амплитуды колебаний.

    Замечание 4

    Из вышесказанного можно сделать вывод, что, когда бегущая волна получает распространение, появляется поток энергии, пропорциональный скорости волны и квадрату ее амплитуды.

    Скорость распространения волны

    Бегущие волны движутся в среде с определенными скоростями, находящимися в зависимости от типа волны, инертных и упругих свойств среды.

    Скорость, с которой поперечные волны распространяются в натянутой струне или резиновом жгуте, имеет зависимость от погонной массы μ (или массы единицы длины) и силы натяжения T

    υ=Tμ.

    Скорость, с которой продольные волны распространяются в безграничной среде, рассчитывается при участии таких величин как плотность среды ρ (или масса единицы объема) и модуль всестороннего сжатия B (равен коэффициенту пропорциональности между изменением давления Δp и относительным изменением объема ΔVV, взятому с обратным знаком): 

    p=-BVV.

    Таким образом, скорость распространения продольных волн в безграничной среде, определяется по формуле:

    υ=Bρ.

    Пример 1

    При температуре 20 °С скорость распространения продольных волн в воде υ1480 м/с, в различных сортах стали υ56 км/с.

    Если речь идет о продольных волнах, получающих распространение в упругих стержнях, запись формулы для скорости волны содержит не модуль всестороннего сжатия, а модуль Юнга:

    υ=Eρ.

    Для стали отличие E от B незначительно, а вот для прочих материалов оно может составлять 2030 % и больше.

    Рисунок 2.6.5. Модель продольных и поперечных волн.

    Стоячая волна

    Предположим, что механическая волна, получившая распространение в некоторой среде, встретила на пути некое препятствие: в этом случае характер ее поведения резко изменится. К примеру, на границе раздела двух сред с различающимися механическими свойствами волна частично отразится, а частично проникнет во вторую среду. Волна, пробегающая по резиновому жгуту или струне, отразится от зафиксированного конца, и возникнет встречная волна. Если у струны зафиксированы оба конца, появятся сложные колебания, являющиеся итогом наложения (суперпозиции) двух волн, получающих распространение в противоположных направлениях и испытывающих отражения и переотражения на концах. Так «работают» струны всех струнных музыкальных инструментов, зафиксированные с обоих концов. Схожий процесс возникает при звучании духовых инструментов, в частности, органных труб.

    Если волны, распространяющиеся по струне во встречных направлениях, обладают синусоидальной формой, то при определенных условиях они образуют стоячую волну.

    Допустим, струна длины l зафиксирована таким образом, что один из ее концов расположен в точке x=0, а другой – в точке x1=L (рисунок 2.6.6). В струне имеется натяжение T.

    Рисунок 2.6.6. Возникновение стоячей волны в струне, зафиксированной на обоих концах.

    По струне одновременно пробегают в противоположных направлениях две волны с одинаковой частотой:

    • y1(x, t)=A cos (ωt+kx) – волна, распространяющаяся справа налево;
    • y2(x, t)=A cos (ωt-kx) – волна, распространяющаяся слева направо.

    Точка x=0 - один из зафиксированных концов струны: в этой точке падающая волна y1 в результате отражения создает волну y2. Отражаясь от зафиксированного конца, отраженная волна входит в противофазу с падающей. В соответствии с принципом суперпозиции (что есть экспериментальный факт) колебания, созданные встречными волнами во всех точках струны, суммируются. Из сказанного следует, что итоговое колебание в каждой точке определяется как сумма колебаний, вызванных волнами y1 и y2 в отдельности. Таким образом:

    y=y1(x, t)+y2(x, t)=(-2A sin ωt) sin kx.

    Приведенное выражение является описанием стоячей волны. Введем некоторые понятия, применимые к такому явлению как стоячая волна.

    Определение 6

    Узлы – точки неподвижности в стоячей волне.

    Пучности – точки, расположенные между узлами и колеблющиеся с максимальной амплитудой.

    Если следовать данным определениям, для возникновения стоячей волны оба зафиксированных конца струны должны являться узлами. Указанная ранее формула отвечает этому условию на левом конце (x=0). Чтобы условие было выполнено и на правом конце (x=L), необходимо чтобы kL=nπ, где n является любым целым числом. Из сказанного можно сделать вывод, что стоячая волна в струне появляется не всегда, а только тогда, когда длина L струны равна целому числу длин полуволн:

    l=nλn2 или λn=2ln(n=1, 2, 3,...).

    Набору значений λn длин волн соответствует набор возможных частот f

    fn=υλn=nυ2l=nf1.

    В этой записи υ=Tμ есть скорость, с которой распространяются поперечные волны по струне.

    Определение 7

    Каждая из частот fn и связанный с ней тип колебания струны называется нормальной модой. Наименьшая частота f1 носит название основной частоты, все прочие (f2, f3, ) называются гармониками.

    Рисунок 2.6.6 иллюстрирует нормальную моду для n=2.

    Стоячая волна не обладает потоком энергии. Энергия колебаний, «запертая» в отрезке струны между двумя соседними узлами, не переносится в остальные части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды за период T) преобразование кинетической энергии в потенциальную и обратно, подобно обычной колебательной системе. Однако, здесь имеется различие: если груз на пружине или маятник имеют единственную собственную частоту f0=ω02π, то струна характеризуется наличием бесконечного числа собственных (резонансных) частот fn. На рисунке 2.6.7 показано несколько вариантов стоячих волн в струне, зафиксированной на обоих концах.

    Рисунок 2.6.7. Первые пять нормальных мод колебаний струны, зафиксированной на обоих концах.

    Согласно принципу суперпозиции стоячие волны различных видов (с разными значениями n) способны одновременно присутствовать в колебаниях струны.

    Рисунок 2.6.8. Модель нормальных мод струны.

     

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,4 из 5 (20 голосов)