Спираль Корню

Спираль Корню

    Определение 1

    Интегралы следующего вида: C(s)=0scosπξ22dξ, S(s)=0ssinπξ22dξ носят название интегралов Френеля. Они вычисляются при помощи численных методов. Также существуют таблицы данных интегралов. Стоит учитывать, что при C=S=0,5; C-=S-=-0,5.

    Графически данные таблицы проиллюстрированы как спираль Корню (рис.1).

    Рисунок 1

    Приведенная спираль включает в свой состав пару закручивающихся вокруг фокусов F симметричных ветвей. С помощью верхней ветви изображается действие правой половины фронта, в свою очередь, нижняя ветвь соответствует левой части фронта. Отличие от спирали Френеля вызвано тем, что убывание начальных зон Шустера происходит несколько быстрее, чем убывание зон Френеля.

    Пример 1

    Представим, что путь распространения плоской волны света преграждается непрозрачным плоским экраном с прямым краем. В этом случае левая часть спирали Корню характеризует результат колебаний, которые приходят в точку наблюдения от тех участков поверхности волны (если бы они были открыты), которые лежат левее края непрозрачной полуплоскости. Амплитуда колебаний в точке наблюдения B0 от располагающейся правее края используемого преграждающего экрана волновой поверхности иллюстрируется вектором, который проводится из точки O в фокус точку фокуса F. Амплитуда колебаний в точке наблюдения от полностью открытой волновой поверхности характеризуется вектором, который проходит от нижнего левого фокуса до верхнего правого, соединяя их.

    Рисунок 2

    Спираль Корню используют в качестве метода анализа дифракции. Она дает возможность количественно анализировать распределение интенсивности в картине дифракции.

    Применение спирали Корню для нахождения амплитуды колебаний

    Для того, чтобы найти амплитуду колебаний в точке наблюдения, которая находится правее B0, как это изображено на рисунке 2, от какой-либо полосы волновой поверхности, необходимо построить вектор, замыкающий соответствующий исследуемой полосе участок спирали Корню. Таким образом, выходит следующая схема действий. Каждой точке, принадлежащей спирали Корню, соответствует определенное значение параметра s (данный параметр пропорционален длине дуги спирали, которая берет начало в точке О. Смотрите рисунок 1). Величины параметра указываются на кривой.

    Для того, чтобы применять спираль Корню нам необходимо обладать информацией о значении параметра s. Его несложно найти, если известно расстояние x от точки наблюдения до центра картины. Вычислив ширину первой зоны Шустера λl, следующим делом с помощью формулы узнаем значение параметра s.

    Использование спирали Корню в целях нахождения интенсивности света

    Рассмотрим пример механизма нахождения распределения интенсивности, применяя спираль Корню. Найдем ее на экране поблизости от края геометрической тени, в условиях дифракции плоской волны от прямого края непрозрачной полуплоскости (рис. 2).

    При условии, что точка B расположена правее B0 (рис. 2), правая часть поверхности волны полностью открыта (от точки C). В этом случае на спирали амплитуда колебаний, в точке наблюдения, соответствует вектору M5F, изображенному на рисунке 1. Начало приведенного вектора определяется положением точки наблюдения. В ситуации, когда такой точкой является B0, или же, другими словами, край геометрической тени, то точка начала вектора совпадает с точкой O спирали Корню, а его вектор – амплитуда колебаний иллюстрируется в виде вектора OF, который эквивалентен половине вектора F1F от открытой полностью волновой поверхности. Таким образом, интенсивность света в точке B0 в 4 раза ниже, чем интенсивность при отсутствующих преградах. В условиях перемещения точки наблюдения в правую сторону от точки B0 начало вектора, принадлежащее спирали Корню, производит движение по ее левой ветке, в этом случае слева от точки C открываются новые зоны. Как результат амплитуда и интенсивность в точке B будут претерпевать изменения от максимума к минимуму. Различие между ними в условиях удаления точек B и B0 друг от друга будет постепенно девальвироваться. При этом интенсивность света приближается к величине интенсивности падающего света I0 (рис. 3).

    В случае, если точка наблюдения совершает перемещение от точки B0 в область геометрической тени, то начало вектора, принадлежащее спирали Корню движется вправо от точки O. В этой ситуации длина вектора, а вместе с ней и интенсивность света, монотонно снижается до нуля (рис. 3).

    Рисунок 3

    Пример 2

    Найдите расстояние между первыми двумя максимумами на экране, если картина дифракции наблюдается от края непрозрачной полубесконечной плоскости, которая расположена на расстоянии l=1 м от экрана. Длина волны света эквивалентна значению λ=0,5·10-6 м.

    Решение

    Расстояние между максимумами может быть найдено при использовании приведенной ниже формулы:

    x=x2-x1.

    В качестве следующего шага применим формулу для параметра s спирали Корню, из которой выразим x:

    s=x2λlx=slλ2.

    Таким образом, для x справедливо выражение вида:

    x=s2-s1lл2.

    Проведем вычисления:

    x=2,3-1,21·0,5·10-62=5,5·10-4 (м).

    Ответ: x=5,5·10-4 (м).

    Пример 3

    Применяя понятие касательной к спирали Корню опишите поведение спирали.

    Решение

    Пускай угол наклона касательной к спирали Корню в выбранной точке будет равен α, в таком случае справедливой будет следующая запись:

    tg α=dSdC.

    Формула спирали Корню в параметрическом виде:

    C(s)=0scosπξ22dξ, S(s)=0ssinπξ22dξ.

    Из уравнений tg α=dSdC и C(s)=0scosπξ22dξ, S(s)=0ssinπξ22dξ следует, что:

    tg α=tgπs22α=πs22.

    Если s=0, то α=0. Из этого выходит вывод о том, что кривая Корню в начале координат касается оси X. При s=1, α=π2 кривая Корню уходит вверх. При s=2, α=π, касательная горизонтальна, однако направляется против оси X. При s=3, a=32π, касательная вертикально идет вниз. При s=2, α=2π, касательная в горизонтальном направлении (исходном). 

    Ответ: выражение tg α=tgπs22a=πs22 описывает, как спираль Корню обвивается вокруг своих фокусов F, F1(рис.1). Производя бесконечно много оборотов.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,7 из 5 (5 голосов)