Дифракционная картина в дальней зоне как Фурье-образ дифракционного объекта

Дифракционная картина в дальней зоне как Фурье-образ дифракционного объекта

    Когда распространение волны E0 идет по Оz и попадает на экран, совпадающий с плоскостью z=0, тогда амплитудный коэффициент пропускания равняется τ (x, y). Случай указывает на поле волны за экраном, которая проходит через преграду Eτ.

    Используя теорему Фурье, функция Eτ (x, y) может быть представлена:

    Выражение (2) показывает, что световое поле представлено как суперпозиция плоских волн, амплитуды которых обозначены через F u, v - пространственный спектр.

    Реализация Фурье – образа

    При дифрагировании световой волны на большие углы излучение обладает высокими пространственными частотами. Если распространение волны идет по оси Z, то ей соответствует нулевая пространственная частота. То есть для решения задачи Фраунгофера следует обозначить пространственный спектр волнового поля за экраном, определенного уравнением (1) и равного свертке спектров падающей волны E0 (x, y) и коэффициента пропускания экрана. Если E0 (x, y) считается плоской волной, то не существует зависимости ее поля от поперечных координат, угловой спектр совпадает с угловым спектром пропускания экрана.

    Определение 1

    Образование изображений и преобразование Фурье – это проявление дифракции.

    Картина дифракции Фраунгофера – Фурье образ

    Дифракция Фраунгофера наблюдается при выполненном условии для дальней зоны в фокальной плоскости оптической системы.

    Значение l определяет расстояние от препятствия (отверстия) до экрана, b - ширину щели (диаметр/радиус).

    Возьмем для рассмотрения плоскость P, которой принадлежит излучающая поверхность S. Отсюда получим, что плоскостью наблюдения будет являться P'. Расстояние между этими плоскостями равняется z, как показано на рисунке 1.

    Рисунок 1

    Отметим, что не существует комплексного коэффициента усиления для дифракции Фраунгофера, так как условие пространственной инвариантности поля нарушено.

    Примеры Фурье – образов

    Пример 1

    При совершении дифракции Фраунгофера на круглом отверстии волной, форма сигнала будет в виде круга. Допустим, его радиус равняется R. Запись Фурье – образ сигнала запишется:

    F (u, v)=J1(Rρ)ρeiux+iuy,

    где выражение ρ=u2+v2 J1(Rρ) является функцией Бесселя первого рода и первого порядка, так как она действительная и четная, x, y – смещением сигнала по соответствующим осям.

    Образ Фурье – считается четным и действительным при условии смещения x=y=0. Смещением называют фазовую добавку. При ее наличии модуль Фурье – образа не изменен, отсюда и получаем изображение дифракции, который пропорционален квадрату, сохраняется.

    Особым практическим интересом обладает задача о дифракции на круглом отверстии, так как оправы и диафрагмы множества приборов в оптике обладают круглой формой. Для решения такого рода задач применяют цилиндрическую систему координат. Для этого следует использовать двойное интегрирование по радиальной и азимутным переменным.

    Результат дифракции – акисально-симметричная картина, обладающая ярким световым пятном в центре, называемым диском Эйри. Он включает в себя около 84% световой энергии.

    Пример 2

    Была совершена фраунговерова дифракция на квадратном отверстии со стороной
    2a при помощи плоской волны. Форма сигнала – квадрат. Фурье – образ такого сигнала записывается как:

    Fu, v=sin auusin avveiux+vy.

    Значение x, y относят к смещению сигнала по соответствующим осям. Функция sin (x)x является действительной и четной, как и Фурье – образ при x=y=0. Если смещение не равняется нулю, то это влечет за собой появление дополнительных осцилляций без изменения модуля Фурье – образа. Картина дифракции сохраняется и остается прежней.

    Пример 3

    Дифракция опыта Юнга является дифракцией Фраунгофера плоской волны на двух круглых отверстиях. Тогда запись Фурье – образа такого сигнала примет вид:

    Fu, v=J1Rρρexpiux1+ivy1+expiux2+ivy2.

    Значение ρ=u2+v2, J1 Rρ считается за функцию Бесселя 1 рода и 1 порядка, x1, y1; x2, y2 - за координаты центров кругов. Вид квадрата Фурье – образа – это кольца, соответствующие кругу радиуса R. Они модулируются при помощи полос, находящихся на одинаковом расстоянии. Полосы располагаются перпендикулярно линии, соединяющей центры кругов. Расстояние между полосами обратно пропорционально расстоянию между кругами.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,1 из 5 (16 голосов)