Дифракционный предел разрешения оптических инструментов

Дифракционный предел разрешения оптических инструментов

    На практике наибольший интерес представляет случай дифракции света, когда препятствие не закрывает лишь малую часть первой зоны Френеля. Данный случай выполняется, если соблюдается следующее условие

    m=R2Lλ1 или R2Lλ,

    то есть дифракционная картина от препятствий небольших размеров лучше всего смотрится на очень большом расстоянии.

    Пример 1

    Предположим, если R=1 мм, λ=550 нм (свет зеленого цвета), тогда расстояние L до плоскости наблюдения должно быть более 2-3 метров (то есть от 10 метров и больше).

    Дифракция в параллельных лучах

    Определение 1

    Лучи, проведенные в точку наблюдения, находящуюся на далеком расстоянии от разных элементов волнового фронта, почти можно назвать параллельными. Данный случай получил название дифракция в параллельных лучах или дифракция Фраунгофера. Такое название дано в честь немецкого ученого-физика И. Фраунгофера, современника Френеля.

    Если же на пути лучей за препятствием расположить собирающую линзу, тогда параллельный пучок лучей, дифрагировавший на препятствии под углом θ, соберется в некоторой точке фокальной плоскости, как показано на рис. 3.9.1. Поэтому можно сделать вывод о том, что любая точка в фокальной плоскости линзы эквивалентна бесконечно удаленной точке при отсутствии линзы.

    Рисунок 3.9.1. Дифракция в параллельных лучах. Кривая зеленого цвета – распределение интенсивности в фокальной плоскости (масштаб по оси x сильно увеличен).

    В фокальной плоскости линзы представлена дифракционная картина Фраунгофера. Однако с точки зрения геометрической оптики, в фокусе должна располагаться точечная картина удаленного точечного предмета. В действительности изображение точечного предмета размыто из-за дифракции. В этом есть волновая природа света.

    Определение 2

    Ни одна оптическая система не дает точечного изображения. В случае дифракции Фраунгофера на круглом отверстии диаметра D дифракционная картина состоит из центрального светлого пятна (это называется диском Эйри). На него приходится примерно 85 % энергии света,а также окружающих его светлых и темных колец. Это наглядно представлено на рис. 3.9.2. Данное дифракционное пятно считается изображением точечного источника.

    Радиус центрального пятна в фокальной плоскости линзы равняется

    r=1,22λDF.

    В случае если световые лучи от удаленного источника попадают на линзу непосредственно, то функцию экрана, на котором дифрагирует свет, выполняет оправа линзы. Здесь под D принимается диаметр линзы.

    Рисунок 3.9.2. Дифракционное изображение точечного источника или дифракция на круглом отверстии. В центральное пятно попадает приблизительно 85 % энергии света.

    Величина дифракционных картин очень мала. К примеру, радиус центрального светлого пятна в фокальной плоскости линзы диаметра D=5 см и фокусным расстоянием F=50 см в монохроматическом свете с длиной волны λ=500 нм примерно составляет 0,006 мм. В большинстве оптических устройств (фотоаппаратах, проекторах и прочих устройствах) дифракционное размытие изображений маскируется существенно более сильными искажениями вследствие оптического несовершенства. Другое дело, высокоточные астрономические приборы, в которых выполняется дифракционный предел качества изображений. Вследствие дифракционного размытия изображения 2-х точек объекта, находящихся на близком расстоянии, могут не отличаться от изображения одной точки.

    Пример 2

    Для наглядности рассмотрим пример с объективом астрономического телескопа, который нацелен на 2 близкие звезды, расположенные на угловом расстоянии ψ по отношению друг к другу. Предположим, что нет никаких дефектов и аберраций, и в фокальной плоскости объектива есть дифракционные изображения звезд (рис. 3.9.3).

    Рисунок 3.9.3. Дифракционные изображения 2-х близких звезд в фокальной плоскости объектива телескопа

    Рис. 3.9.3 показывает, что расстояние Δl между центрами дифракционных изображений звезд больше радиуса rцентрального светлого пятна – в данном случае изображения звезд наблюдатель воспринимает раздельно и, поэтому объектив телескопа дает возможность разрешить 2 близкие звезды.

    Если уменьшить угловое расстояние ψ между звездами, то дифракционные изображения могут существенно перекрыться и перестать отличаться от изображения одиночной звезды. Тогда объектив телескопа не будет разрешать близкие звезды.

    Критерий разрешения Релея

    Определение 3

    Английский ученый-физик Дж. Релей в конце XIX в. условно предположил, что разрешение является полным, если расстояние Δl между центрами изображений равняется (или больше) радиуса r диска Эйри (рис. 3.9.4). Условие Δl=r получило название критерий разрешения Релея.

    Исходя из критерия Релея:

    lmin=ψmin·F=1,22λDF или ψmin=1,22λD.

    Телескоп, имеющий диаметр объектива D=1 м, может разрешать 2 звезды, которые находятся на угловом расстоянии ψmin=6,7·107 рад (для λ=550 нм).

    Рисунок 3.9.4. Предел разрешения микроскопа по Релею. Красная кривая – распределение суммарной интенсивности света.

    Определение 4

    Космический телескоп Хаббла был выведен на орбиту в 1990 году. Величина диаметра его зеркала составляет D=2,40 м. А предельное угловое разрешение микроскопа на длине волны λ=550 нм равняется: ψmin=2,8·107 рад. Работе космического телескопа не мешают никакие атмосферные возмущения. Для описания объектива телескопа выведем величину R, которая обратна предельному углу ψmin. Данная величина называется разрешающая сила телескопа:

    R=1ψmin=D1,22λ.

    Разрешающая способность оптических приборов увеличивается, когда увеличивается и диаметр объектива. Все сделанные выводы о разрешающей способности телескопа применимы также и к невооруженному глазу. Глаз при наблюдении удаленных предметов действует точно так же, как и объектив телескопа. Функцию D выполняет диаметр зрачка глаза dзр. Если dзр=3 мм и λ=550 нм, тогда вычислим формулу для предельного углового разрешения глаза

    ψгл=1,22λdзр=2,3·10-4 рад=47''1'.

    Данное равенство хорошо сопоставляется с физиологической оценкой разрешающей способности глаза, которая выполнялась в соответствии с размерами светочувствительных элементов сетчатки (палочек и колбочек).

    Сделаем один общий вывод: световой пучок диаметра D и длиной волны λ из-за своей волновой природы света испытывает дифракционное уширение. Угловая полуширина φ пучка оказывается порядка λD, так что полная ширина d пучка на расстоянии L приблизительно равняется

    dD+2λDL.

    Рис. 3.9.5 совершенно точно показывает, как по мере удаления от препятствия преобразуется пучок света.

    Рисунок 3.9.5. Пучок света, расширяющийся из-за дифракции. Область I – понятие луча света, законы геометрической оптики. Область II – зоны Френеля, пятно Пуассона. Область III – дифракция в параллельных лучах.

    По выполненным на рис. 3.9.5 оценкам видно, что угловое расхождение пучка становится меньше при увеличении его первоначального поперечного размера D. Это утверждение справедливо для любых волн. Для того чтобы, послать «узкий» пучок лазерного излучения на Луну, нужно прежде его расширить. Это возможно благодаря телескопу: лазерный пучок направляется в окуляр и потом после прохождения через телескоп, выходит из объектива с диаметром D (рис. 3.9.6).

    Рисунок 3.9.6. Расширение лазерного пучка при помощи телескопической системы.

    Пример 3

    Данный расширенный пучок, добравшись до Луны, «засветит» на ней пятно радиусом R=λDL.

    где L – это расстояние до Луны. Примем D=2,5 м (телескоп Крымской обсерватории), λ = 550 нм, L = 4·106 м и получим R90 м. Если на Луну направить первоначальный пучок лазерного света с диаметром примерно 1 см, то он «засветит» на Луне пятно с радиусом в 250 раз больше.

    Разрешающая способность микроскопа

    Микроскоп используют для наблюдения близко расположенных объектов, потому его разрешающая способность описывается не угловым, а линейным расстоянием между 2-мя близкими точками, которые могут восприниматься также раздельно. Наблюдаемый объект находится на близком расстоянии от переднего фокуса объектива. Зачастую пространство перед объективом заполняют специальной прозрачной жидкостью, которая называется иммерсия (рис. 3.9.7). В плоскости, геометрически сопряженной объекту, находится его увеличенное изображение, которое наблюдается через окуляр. Изображение каждой точки размывается из-за дифракции света.

    Рисунок 3.9.7. Иммерсионная жидкость перед объективом микроскопа.

    Определение 5

    Первым, кто определил дифракционный предел разрешения объектива микроскопа, был в 1874 гогу немецкий физик Г. Гельмгольц. Формула Гельмгольца имеет вид:

    lmin=0,61λn sin α,

    где λ – длина волны, n – показатель преломления иммерсионной жидкости, αапертурный угол (рис. 3.9.7),n sin α - числовая апертура.

    Хорошие микроскопы имеют апертурный угол α, близкий к своему пределу: απ2. По формуле Гельмгольца понятно, применение иммерсии немного улучшает предел разрешения. Предполагая для оценки sin α1, n1,5, получаем:

    lmin0,4 λ.

    Так, при помощи микроскопа принципиально нельзя рассмотреть какие-то детали, размер которых существенно менее длины волны света. Волновые свойства света определяют предел качества изображения объекта, который получен при использовании любой оптической системы.

    Рисунок 3.9.8. Модель дифракционного предела разрешения.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,7 из 5 (9 голосов)