Уравнение Майера

Уравнение Майера

    Уравнение Майера связывает теплоемкости идеального газа в двух изопроцессах, тогда перейдем к самому его определению.

    Теплоемкость. Уравнение Майера

    Определение 1

    Переданное телу количество теплоты для его нагревания на 1 К получило название теплоемкости тела данной системы. Обозначение принимается буквой "С":

    С=δQdT (1).

    Значение теплоемкости единицы молярной массы тела:

    cμ=Cv (2). Выражение называется молярной теплоемкостью.

    Теплоемкость не считается функцией состояния, так как является характеристикой бесконечно близких состояний системы или выражается в качестве функции бесконечно малого процесса, совершаемого в системе. В количественном выражении это означает, что из (1), применяя первое начало термодинамики, дифференциальная форма получится:

    C=δQdT=dU+pdVdT (3).

    Уравнение Майера для идеального газа

    Определение термодинамической системы производится при помощи трех параметров p, V, T. Существующее между ними отношение получило название уравнения состояния. Для идеального газа используется уравнение Менделеева-Клапейрона. Данная связь запишется в виде:

    p=p(T, V) или T=T (p,V), V=V(p, T).

    При выборе независимых переменных в качестве V и T внутренняя энергия системы выражается в виде функции U=U(T, V). Получим, что значение полного дифференциала от внутренней энергии примет вид:

    dU=UTVdT+UVTdV (4).

    Произведем подстановку из (4) в (3), тогда

    c=UTVdT+UVTdV+pdVdT=UTV+p+UVTdVdT (5).

    Исходя из формулы (5), теплоемкость находится в зависимости от процесса. Если он изохорный, то

    dVdT=0.

    Значение теплоемкости изохорного процесса запишется как:

    CV=UTV (6).

    При изобарном теплоемкость выражается через формулу:

    Cp=UTV+p+UVTVTp=CV+p+UVTVTp (7).

    Перейдем к рассмотрению исследуемой системе идеального газа. Запись малого приращения энергии идеального газа:

    dU=i2vRdT (8).

    Отсюда следует:

    dUdVT=0 (9).

    Состояние идеального газа описывается при помощи уравнения Менделеева-Клапейрона:

    pV=vRt (10).

    Значит:

    VTp=vRp (11).

    Произведем подстановку в (7) из (10) и (11):

    Cp=CV+p+0vRp=CV+vR (12).

    Выражение (12) называют выведенным соотношением Майера.

    Или для молярных теплоемкостей:

    Cμp=CμV+R (13).

    Пример 1

    Найти удельную теплоемкость смеси 16 г кислорода и 10 г гелия в процессе с постоянным давлением.

    Решение

    Если Q считается количеством тепла, получаемым смесью газов в процессе, то

    Q=cpmT (1.1), где m является массой смеси, cp – удельной теплоемкостью смеси при неизменном давлении.

    QO2 - это количество тепла, получаемое кислородом:

    QO2=cpO2mO2T (1.2), mO2 выражается массой кислорода, cpO2 – теплоемкостью кислорода с постоянным давлением.

    Для гелия аналогично:

    QHe=cpHemHeT (1.3).

    Кроме этого рассмотрим:

    Q=cpmT=QO2+QHe=cpO2mO2T+cpHemHeT (1.4).

    Нахождение массы смеси производится по закону сохранения массы:

    m=mO2+mHe (1.5).

    Произведем выражение теплоемкости cp из (1.4), учитывая (1.5). Тогда имеем:

    cp=cp O2mO2+cpHemHemO2+mHe (1.6).

    Существует связь между молярной теплоемкостью и удельной:

    cμ=c·μc=cμμ (1.7).

    Если cμV=i2R, то по уравнению Роберта Майера cμp=cμV+R:

    cμp=i+22R (1.8);iHe=3, iO2=5.

    В данном случае удельные теплоемкости запишутся как:

    cpHe=52RμHe, cpO2=7R2μO2 (1.9).

    Результатом будет записанная формула удельной теплоемкости смеси:

    cp=7R2μO2mO2+52RμHemHemO2+mHe (1.10).

    Выполним подстановку:

    cp=3,5·8,31·1632+2,5·8,31·10426=14,5+51,9426=2,56 ДжгК.

    Ответ: удельная теплоемкость смеси равняется 2,56 ДжгК.

    Пример 2

    При проведении опытов Джоулем было получено, что сμp-cμV=1,986 калК·моль. Значение газовой постоянной, измеренной в механических единицах R=8,314·107 эргК·моль. Определите, как соотносятся 1 кал, эрг, Дж.

    Решение

    Основой решения данного задания принято считать уравнение Майера, формула записывается:

    сμp=cμV+Rcμp-cμV=R (2.1).

    Отсюда получим, что:

    cμp-cμV=1,986калК·моль=8,314·107эргК·моль1кал=4,18·107 эрг=4,18 Дж.

    Ответ: 1кал=4,18·107 эрг=4,18 Дж.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,5 из 5 (8 голосов)