Преобразования Лоренца
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Преобразования Лоренца

    Ранее мы уже изучили формулы, называемые классическими преобразованиями Галилея, однако они несовместимы с постулатами специальной теории относительности (СТО). Поэтому в данном случае нам нужно использовать другие положения. Благодаря новым преобразованиям мы сможем установить, какая связь существует между некоторым моментом события t, наблюдаемого в системе отсчета K в точке с координатами (x, y, z) и показателями того же события, которое наблюдается в системе отсчета K'.

    Определение 1

    Преобразования Лоренца представляют собой кинематические формулы, с помощью которых происходит преобразование координат и времени в специальной теории относительности.

    Они были впервые сформулированы еще в 1904 году в качестве преобразований, относительно которых были инвариантны уравнения электродинамики.

    Обозначим основные системы K и K', скорость их движения – υ, а ось, вдоль которой они движутся – x. В таком случае преобразования Лоренца примут следующий вид:

    K'Kx=x'+υt'1-β2,y=y',z=z',t=t'+υx'/c21-β2. KK'x'=x-υt1-β2,y'=y,z'=z,t'=t-υx/c21-β2.

    β=υc.

    Используя эти формулы, мы можем вывести из них множество следствий. Так, именно из системы преобразований Лоренца следует лоренцево сокращение длины и релятивистский эффект замедления времени.

    Пример 1

    Возьмем случай, когда в системе K' происходит некий процесс, длительность которого составляет τ0 = t'2  t'1 (по собственному времени). Здесь t'1 и t'2 – это время на часах в начале данного процесса и в его конце. Чтобы вычислить его общую продолжительность в точке x, необходимо взять для расчета следующую формулу:

    τ=t2-t1=t'2+υx'/c21-β2-t'1+υx'/c21-β2=t'2-t'11-β2=τ01-β2.

    Формула релятивистского сокращения длины выводится из преобразований Лоренца точно таким же образом.

    Принцип относительности одновременности

    Еще одно важное следствие, которое необходимо знать, – это положение о том, что любая одновременность относительна.

    Пример 2

    Например, если в системе отсчета K' взять две разные точки, в которых некий процесс будет протекать одновременно (с позиции стороннего наблюдателя), то в системе наблюдатель будет иметь следующее:

    x1=x'1+υt'1-β2, x2=x'2+υt'1-β2x1x2,t1=t'+υx'1/c21-β2, t2=t'+υx'2/c21-β2t1t2.

    Из этого вытекает пространственная разобщенность данных событий в системе K, следовательно, они не могут считаться одновременными. Нельзя сразу сказать, какое событие будет происходить первым, а какое вторым, поскольку это определяется особенностями системы отсчета – знак разности будет определен знаком выражения υ(x'2x'1).

    Если между событиями имеется причинно-следственная связь, то данный вывод специальной теории относительности для них использовать нельзя. Однако мы можем показать, что при этом не нарушается принцип причинности, и события следуют в нужном порядке в любой инерциальной системе отсчета.

    Разберем пример, показывающий, что одновременность разобщенных в пространстве событий является относительной.

    Пример 3

    Возьмем систему отсчета K' и расположим в ней длинный жесткий стержень. Его положение будет неподвижным и ориентированным вдоль оси абсцисс. Установим на оба его конца часы, синхронизированные между собой, а в центр поместим импульсную лампу. Также у нас будет система K', совершающая движение вдоль оси x в системе K.

    В определенный момент времени лампа включится и пошлет световые сигналы в направлении обоих концов жесткого стержня. Поскольку она находится точно в центре, эти сигналы должны дойти до концов в одно и то же время t, которое должно быть зафиксировано расположенными на них часами. Однако концы стержня движутся относительно системы K так, что один конец стремится навстречу световому сигналу, а другой конец свету приходится догонять. Скорость света, распространяющегося в оба направления, одинакова, но сторонний наблюдатель скажет, что до левого конца свет дошел быстрее, чем до правого.

    Рисунок 4.4.1. Иллюстрация принципа относительности одновременности: достижение световым импульсом концов стержня в системе K' в одно и то же время и в системе K в разное.

    Инвариантные величины в СТО

    Данные преобразования нужны нам для выражения относительного характера временных промежутков и промежутков расстояний. Вместе с тем в специальной теории относительности помимо утверждения относительного характера времени и пространства очень важно установить инвариантные физические величины, не изменяющиеся при смене системы отсчета. Подобной величиной является скорость света в вакууме, чей характер в рамках СТО становится абсолютным. Также важна такая величина, как интервал между событиями, поскольку именно она выражает абсолютность пространственно-временной связи.

    Для вычисления пространственно-временного интервала необходимо использовать следующую формулу:

    s12=c2t122-l122.

    В ней с помощью параметра l12 выражено расстояние между точками одной системы, где совершаются события, а t12 – это временной промежуток между теми же самыми событиями. Если местом одного из событий является начало координат, т.е. x1=y1=z1=0 и (t1=0), а второе происходит в точке с координатами x, y, z в некоторое время t, то формула вычисления пространственно-временного интервала между ними записывается так:

    s=c2t2-x2-y2-z2.

    Преобразования Лоренца дают нам возможность доказать неизменность пространственно-временного интервала между событиями при смене инерциальной системы.

    Определение 2

    Если величина интервала не зависит от того, какая система отсчета используется, т.е. является объективной при любых относительных расстояниях и временных промежутках, то такой интервал называется инвариантным.

    Пример 4

    Допустим, что у нас есть событие (вспышка света), которое произошло в точке начала координат в некоторой системе во время, равное 0, а потом свет переместился в другую точку с координатами x, y, z во время t. Тогда мы можем записать следующее:

    x2+y2+z2=c2t2.

    У нас получилось, что интервал этой пары событий будет равен нулю. Если мы поменяем систему координат и возьмем другое время для второго события, то результаты окажутся точно такими же, поскольку:

    x2+y2+z2=c2t2

    Иначе говоря, любые два события, которые связывает между собой световой сигнал, будут иметь нулевой пространственно-временной интервал.

    Также формулы Лоренца для времени и координат можно использовать для выведения релятивистского закона сложения скоростей.

    Пример 5

    Например, у нас есть частица, которая находится в системе отсчета K' и движется в ней вдоль оси абсцисс со скоростью u'x=dx'dt'. Параметры скорости u'x и u' равны 0. В системе K, соответственно, скорость будет равна ux=dxdt.

    Применим к одной из формул преобразования Лоренца операцию дифференцирования и получим следующее:

    ux=u'x+υ1+υc2u'x, uy=0, uz=0.

    Данные отношения являются выражением релятивистского закона сложения скоростей. Он применим в случае движения частицы параллельно относительной скорости υ в системах отсчета K и K'.

    Если υc, то релятивистские отношения могут быть преобразованы в формулы классической механики:

    ux=u'x+υ, uy=0, uz=0.

    Если мы имеем дело со световым импульсом, распространяющимся в системе K' вдоль оси x' со скоростью u'x=c, то в этом случае применима следующая формула:

    ux=c+υ1+υ/c=c, uy=0, uz=0.

    Иначе говоря, скорость распространения светового импульса в системе K вдоль оси x также будет равна c, что соответствует постулату об инвариантности скорости света.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,8 из 5 (16 голосов)