Уравнение движения материальной точки
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Уравнение движения материальной точки

    Определение 1

    Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.

    Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

    Система отсчета. Системы координат

    Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.

    В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x, y, z – ее координат. Могут быть применены другие:

    • сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r, υ, φ;
    • цилиндрическая система с координатами p, z, α;
    • на полярной плоскости с параметрами r, φ.

    В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.

    Кинематическое уравнение движения материальной точки

    Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.

    Определение 2

    При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.

    Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:

    r¯=r¯(t) (1).

    Определение 3

    Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.

    Ее перемещение по уравнению (1) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t. Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:

    x(t)=x, y(t)=y, z(t)=z (2).

    Прямоугольные декартовы координаты x, y, z - это проекции радиус-вектора r¯, проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r¯ можно найти из соотношений, где a, β, γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.

    Определение 4

    Равенства (2) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

    Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости Оху, тогда применимы полярные координаты r, φ, относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:

    r=r(t), φ=φ(t) (3).

    Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q1, q2, q3, связанных с декартовыми преобразованиями вида x=x(q1, q2, q3), y=y(q1, q2, q3), z=z(q1, q2, q3) (4), записывается как

    q1=q1(t), q2=q2(t), q3=q3(t) (5).

    Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями (2), (5). Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.

    Определение 5

    Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:

    s=s(t).

    Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.

    Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.

    Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.

    Пример 1

    Дано уравнение движения материальной точки x=0,4t2. Произвести запись формулы зависимости υx(t), построить график зависимости скорости от времени. На графике отметить площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, произвести вычисление.

    Дано: x=0,4t2, t=4c

    Найти: υx(t), S - ?

    Решение

    При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:

    υx=υ0x+axt.

    Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:

    x=x0+υ0xt+axt22, x=0,4t2.

    Очевидно, что x0=0, υ0x=0, ax=0,8 м/с2.

    После подстановки данных в уравнение:

    υx=0,8t.

    Определим точки, изобразим график:

    υx=0, t=0, υx=4, t=5

    Рисунок 1

    Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы:

    S=0,4t2=6,4 м.

    Ответ: S=6,4 м.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,8 из 5 (18 голосов)