Закон распределения молекул по скоростям
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Закон распределения молекул по скоростям

    Определение 1

    С помощью закона распределения молекул по скоростям мы можем описать, как именно в макроскопической системе происходит распределение частиц (при условии ее нахождения в термодинамическом равновесии). Такое распределение называется стационарным, и воздействия внешних сил на систему при этом не происходит.

    Данный закон распространяется как на жидкости, так и на газы, если на них действуют законы классической механики. Если мы знаем, как именно распределяются молекулы по своим скоростям, значит, мы можем ответить, какой объем молекул имеет определенную скорость в условиях заданной температуры в равновесном состоянии.

    Чтобы лучше объяснить данный вопрос, начнем с введения такого понятия, как пространство скоростей. Оно изображено схематически на рисунке 1.

    Рисунок 1

    Мы видим, что в декартовой системе координат здесь отмечены именно проекции скоростей, а не координаты. Тогда исходный вопрос можно переформулировать так: "Как именно будут распределяться молекулы в пространстве скоростей"?

    Очевидно, что данное распределение не будет равномерным. Если в пространстве мы выделим параллелепипед, имеющий объем dω=dυxdυydυz, то в нем окажется dNυ молекул. Обозначим буквой N число молекул газа, тогда f(v) будет некоторой функцией скорости.

    Распределение Максвелла

    Поскольку, как мы уже отмечали, газ находится в равновесном состоянии, то направления движений частиц являются равноправными. Значит, допустимо считать, что в пространстве скоростей распределение молекул является симметричным и имеет сферическую форму.

    Рисунок 2

    Определим, из скольких молекул состоит шаровой слой dυ. Разделим найденное выше число на количество частиц (N) и получим вероятность dWυ того, что пределы модуля скорости молекулы равны υ - υ+dv.

    Здесь F(v) является функцией распределения вероятности значения v. Впервые данная функция теоретически была получена Д. Максвеллом.

    Определение 2

    Таким образом, закон распределения молекул по модулям скоростей имеет следующий вид:

    dNυ=N4πm02πkT32exp-m0υ22kTυ2dυ.

    Здесь υ=υx2+υy2+υz2, масса молекулы равна m0, а k – постоянная Больцмана.

    По проекциям скоростей распределение Максвелла может быть записано так:

    dN=Nfυxfυyfυzdυxdυydυz.

    Важно учесть, что:

    fυi=m02πkT12exp-m0υi22kT (i=x,y,z).

    Параметры υx, υy, υz означают проекции скоростей молекул на оси координат.

    Также возможен следующий вариант записи распределения Максвелла:

    dN=N4πυver3exp-υυver2υ2dυ.

    Здесь υυer обозначает наиболее вероятную скорость движения молекулы.

    Как выглядит распределение Максвелла на графике

    Кривая распределения молекул по скоростям на графике выглядит так:

    Рисунок 3

    При этом доля тех молекул, которые движутся со скоростями в интервале от υ до υ+dυ будет пропорциональна площади dS, которая на графике обозначена штриховкой.

    Определение 3

    Скорости всех молекул принадлежат интервалу от нуля до плюс бесконечности, значит, будет верным равенство:

    0f(υ)dυ=1.

    Оно называется условием нормировки функции распределения.

    Следовательно, распределение Максвелла по скоростям имеет зависимость от температуры газа и массы его молекул. Объем и давление можно не учитывать.

    Пример 1

    Условие: вычислите, какова будет наиболее вероятная скорость молекул газа при температуре Т в равновесном состоянии.

    Решение

    Нам потребуется распределение Максвелла (распределение по модулям скоростей).

    dNυ=N4πm02πkT32exp-m0υ22kTυ2dυ.

    Максимум функции будет соответствовать самой вероятной скорости. Дифференциация выражения по скорости и сравнение ее с нулем даст нам следующий результат:

    dNυdυ=N4πm02πkT322υυerexp-m0υυer22kT-υυer2m02υυer2kTexp-m0υυer22kT=0;

    2υυer-υυer2m02υυer2kT=01-υυer2m02kT=0υυer2=2kTm0.

    υυer=2kTm0.

    Ответ: наиболее вероятно, что скорость газа будет равна υυer=2kTm0.

    Пример 2

    Условие: изобразите кривые распределения скоростей молекул газа при росте температуры Т.

    Решение

    Возьмем формулу наиболее вероятной скорости из предыдущей задачи.

    υυer=2kTm0

    Понятно, что чем больше будет температура, тем выше будет скорость молекул, т.е. произойдет смещение максимума в сторону больших скоростей. Поскольку площадь под кривой распределения является постоянной величиной, кривые на графике будут показаны следующим образом:

    Рисунок 4

    Пример 3

    Условие: дан график функции, по которой молекулы будут распределяться с учетом проекций скорости υx. Сопоставьте количества молекул, проекции скорости которых будут принадлежать интервалам от нуля до υx1 и от υx1 до υx2.

    Рисунок 5

    Решение

    Как мы уже указывали ранее, доля молекул газа, скорости которых лежат в первом интервале, будет пропорциональна площади фигуры, образуемой кривой распределения, вертикальной осью 0 1NdNdυx и вертикальным пунктиром, перпендикулярным оси проекций. Во втором интервале нужная доля будет пропорциональна площади фигуры, ограниченной кривой распределения и вертикальной прямой, параллельной оси ох и проходящей через точку υx1. Очевидно, что площадь первой фигуры будет меньше площади второй. Значит, и молекул, проекции скоростей которых лежат в первом интервале, будет меньше, чем во втором.

    Ответ: молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от 0 до υx1 меньше, чем молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от υx1 до υx2.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,4 из 5 (19 голосов)