Распределение Максвелла-Больцмана

Распределение Максвелла-Больцмана

    Определение 1

    Распределение (или закон) Максвелла--Больцмана описывает распределение молекул газа по координатам и скоростям при системном воздействии внешнего потенциального поля.

    Это распределение выводится из распределения Гиббса (1):

    где Wp – вероятность одного из состояний системы с энергией εp (полная энергия, состоящая из кинетической и потенциальной, которая присуща частицам). Рассмотрим чаще всего используемые формы распределения Максвелла-Больцмана.

    Формы распределения Максвелла-Больцмана

    Формула распределения для концентрации частиц

    dn(ν; x, y, z)=4n0πννer3exp-1ννerν2+2U(x, y, z)m0ν2dvdV (2).

    Здесь dn(v; x; y; z) – количество частиц, присутствующих в выделенном объеме газа dV. Около точки, имеющей координаты (x, y, z), скорости молекул будут находиться в интервале от v до v+dv. В указанной формуле vver есть наиболее вероятная скорость молекул; m0 – является массой молекулы газа; U(x, y, z) – это потенциальная энергия частицы в точке с соответствующими координатами и, наконец, n0 есть концентрация частиц газа в точке с потенциальной нулевой энергией.

    Формула распределения для вероятности импульса и координаты

    dw(px, py, pz, x, y, z) ==A·1(2πm0kT)32exp-px2+py2+pz22m0kTdpxdpydpzexp-U(x, y, z)kTdxdydz (3).

    В данном выражении dw(px, py, pz, x, y, z) – переменная, показывающая вероятность нахождения частицы в фазовом объеме dxdydzdpxdpydpz возле фазовой точки x, y, z, px, py, pz; U(x, y, z) – потенциальная энергия молекулы внешнего поля. В данной формуле распределение Максвелла-Больцмана рассматривается в виде произведения двух вероятностей событий, не зависящих друг от друга: вероятность dw(px, py, pz), что молекула имеет импульс (px, py, pz) и вероятность dw(x, y, z) нахождения молекулы в точке (x, y, z). В таком случае выражение (3) разложится на распределение Максвелла:

    dw(px, py, pz)=12πm0kT32exp-px2+py2+pz22m0kTdpxdpydpz (4),

    и распределение Больцмана:

    dwx, y, z=Aexp-U(x, y, z)kTdxdydz (5).

    Таким образом, распределения Максвелла и Больцмана служат составляющими элементами распределения Гиббса. Энергия молекул, движущихся в поле тяжести вверх, получает уменьшение, но в распределении Максвелла-Больцмана по скоростям средняя энергия при этом неизменна. Сохранность средней энергии частиц, когда происходит уменьшение энергии отдельно взятой молекулы, возможно благодаря выбыванию молекул с меньшей энергией из потока при увеличении высоты. Средняя энергия молекул, движущихся вниз, постоянна из-за присоединения к потоку молекул, выбывших из потока, направленного вверх.

    Сходство между распределениями Максвелла и Больцмана

    Распределения Максвелла и Больцмана обладают общей чертой: и в том и в другом случае законы включают в себя экспоненту, чей показатель в числителе содержит энергию молекулы (кинетическую у Максвелла, потенциальную у Больцмана), а в знаменателе имеют величину -kT, определяющую среднюю энергию теплового движения молекул. Собственно, именно эта схожая черта и дает возможность объединять два распределения в один закон Максвелла-Больцмана.

    Рассмотрим практические задачи на распределение Максвелла-Больцмана.

    Пример 1

    Пусть задан некий газ, имеющий неизменную массу, переводимый из одного равновесного состояния в другое. Необходимо определить, происходит ли изменение в распределении молекул по скоростям: 1) положение максимума кривой в распределении Максвелла; 2) площадь под этой кривой?

    Решение

    Рисунок 1

    Составим запись распределения Максвелла по модулю скорости:

    dNBdv=4πm02πkT32exp-m0v22kTv2.

    При переводе газа из одного равновесного состояния в другое имеет место изменение температуры газа. Таким образом, положение максимума кривой Максвелла изменится.

    При этом в случае, когда температура увеличивается, максимум получит сдвиг в сторону больших скоростей, а величина пика (высота по вертикальной оси) уменьшится (рисунок 1).

    Площадь фигуры, ограниченной кривой и осью скоростей на рисунке 1, равна единице и останется постоянной при изменении температуры.

    Пример 2

    Необходимо определить количество молекул кислорода, чьи скорости находятся в пределах от 195 м/с до 205 м/с при температуре Т=273 К. Масса водорода (m)=0,1 кг.

    Решение

    Заданный условием скоростной интервал невелик, т.е. допустимо применять теорему о среднем, и тогда:

    NN4πmO22πkT32exp-mO2v22kTv2v;N4πNmO22πkT32exp-mO2v22kTv2v (2.1).

    В данном выражении v=200 м/с, Δv= 10 м/с, mO2μO2=1NAmO2=μO2NA, mμO2=NNAN=mNAμO2.

    Подставим полученное в (2.1):

    N4πmNAμO2μO2NA2πkT32exp-μO2NAv22kTv2v (2.2).

    Теперь в выражении (2.2) применим конкретные числовые значения и осуществим расчет:

    N=4·3,14·0,1·6·102332·10-332·10-36·10232·3,14·1,38·10-23·27332exp-32·10-36·1023·(200)22·1,38·10-23·273

    Ответ: искомое количество молекул кислорода в заданных условиях равно порядка 2,31022.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,4 из 5 (15 голосов)