Постоянная Больцмана

Постоянная Больцмана

    Постоянная Больцмана, представляющая собой коэффициент, равный k=1,38·10-23 ДжК, является частью значительного числа формул в физике. Она получила свое название по имени австрийского физика – одного из основоположников молекулярно-кинетической теории. Сформулируем определение постоянной Больцмана:

    Определение 1

    Постоянной Больцмана называется физическая постоянная, с помощью которой определяется связь между энергией и температурой.

    Не следует путать ее с постоянной Стефана-Больцмана, связанной с излучением энергии абсолютно твердого тела.

    Существуют различные методы вычисления данного коэффициента. В рамках этой статьи мы рассмотрим два их них.

    Нахождение постоянной Больцмана через уравнение идеального газа

    Данная постоянная может быть найдена с помощью уравнения, описывающего состояние идеального газа. Опытным путем можно определить, что нагревание любого газа от T0=273 К до T1=373 К приводит к изменению его давления от p0=1,013·105 Па до p0=1,38·105 Па. Это достаточно простой эксперимент, который может быть проведен даже просто с воздухом. Для измерения температуры при этом нужно использовать термометр, а давления – манометр. При этом важно помнить, что количество молекул в моле любого газа примерно равно 6·1023, а объем при давлении в 1 атм равен V=22,4 л. С учетом всех названных параметров можно перейти к вычислению постоянной Больцмана k:

    Для этого запишем уравнение дважды, подставив в него параметры состояний.

    Зная результат, можем найти значение параметра k:

    Нахождение постоянной Больцмана через формулу броуновского движения

    Для второго способа вычисления нам также потребуется провести эксперимент. Для него нужно взять небольшое зеркало и подвесить в воздухе с помощью упругой нитки. Допустим, что система зеркало-воздух находится в стабильном состоянии (статическом равновесии). Молекулы воздуха ударяют в зеркало, которое, по сути, ведет себя как броуновская частица. Однако с учетом его подвешенного состояния мы можем наблюдать вращательные колебания вокруг определенной оси, совпадающей с подвесом (вертикально направленной нитью). Теперь направим на поверхность зеркала луч света. Даже при незначительных движениях и поворотах зеркала отражающийся в нем луч будет заметно смещаться. Это дает нам возможность измерить вращательные колебания объекта.

    Обозначив модуль кручения как L, момент инерции зеркала по отношению к оси вращения как J, а угол поворота зеркала как φ, можем записать уравнение колебаний следующего вида:

    Минус в уравнении связан с направлением момента сил упругости, который стремится вернуть зеркало в равновесное положение. Теперь произведем умножение обеих частей на φ, проинтегрируем результат и получим:

    Следующее уравнение является законом сохранения энергии, который будет выполняться для данных колебаний (то есть потенциальная энергия будет переходить в кинетическую и обратно). Мы можем считать эти колебания гармоническими, следовательно:

    При выведении одной из формул ранее мы использовали закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. Значит, можем записать так:

    Как мы уже говорили, угол поворота можно измерить. Так, если температура будет равна приблизительно 290К, а модуль кручения L10-15 Н·м; φ4·10-6, то рассчитать значение нужного нам коэффициента можно так:

    Следовательно, зная основы броуновского движения, мы можем найти постоянную Больцмана с помощью измерения макропараметров.

    Значение постоянной Больцмана

    Значение изучаемого коэффициента состоит в том, что с его помощью можно связать параметры микромира с теми параметрами, что описывают макромир, например, термодинамическую температуру с энергией поступательного движения молекул:

    E=32kT.

    Этот коэффициент входит в уравнения средней энергии молекулы, состояния идеального газа, кинетической теории газа, распределение Больцмана-Максвелла и многие другие. Также постоянная Больцмана необходима для того, чтобы определить энтропию. Она играет важную роль при изучении полупроводников, например, в уравнении, описывающем зависимость электропроводности от температуры.

    Пример 1

    Условие: вычислите среднюю энергию молекулы газа, состоящего из N-атомных молекул при температуре T, зная, что у молекул возбуждены все степени свободы – вращательные, поступательные, колебательные. Все молекулы считать объемными.

    Решение

    Энергия равномерно распределяется по степеням свободы на каждую ее степень, значит, на эти степени будет приходиться одинаковая кинетическая энергия. Она будет равна εi=12kT. Тогда для вычисления средней энергии мы можем использовать формулу:

    ε=i2kT, где i=mpost+mυr+2mkol представляет собой сумму поступательных вращательных степеней свободы. Буквой k обозначена постоянная Больцмана.

    Переходим к определению количества степеней свободы молекулы:

    mpost=3, mυr=3, значит, mkol=3N-6.

    i=6+6N-12=6N-6;ε=6N-62kT=3N-3kT.

    Ответ: при данных условиях средняя энергия молекулы будет равна ε=3N-3kT.

    Пример 2

    Условие: есть смесь двух идеальных газов, плотность которых в нормальных условиях равна p. Определите, какова будет концентрация одного газа в смеси при условии, что мы знаем молярные массы обоих газов μ1, μ2.

    Решение

    Сначала вычислим общую массу смеси.

    m=ρV=N1m01+N2m02=n1Vm01+n2Vm02ρ=n1m01+n2m02.

    Параметр m01 обозначает массу молекулы одного газа, m02 – массу молекулы другого, n2 – концентрацию молекул одного газа, n2 – концентрацию второго. Плотность смеси равна ρ.

    Теперь из данного уравнения выразим концентрацию первого газа:

    n1=ρ-n2m02m01;n2=n-n1n1=ρ-(n-n1)m02m01n1=ρ-nm02+n1m02m01n1m01-n1m02=ρ-nm02n1(m01-m02)=ρ-nm02.

    Далее нам потребуется уравнение, описывающее состояние идеального газа:

    p=nkTn=pkT.

    Подставим полученное равнее значение:

    n1(m01-m02)=ρ-pkTm02n1=ρ-pkTm02(m01-m02).

    Поскольку молярные массы газов нам известны, мы можем найти массы молекул первого и второго газа:

    m01=μ1NA, m02=μ2NA.

    Также мы знаем, что смесь газов находится в нормальных условиях, т.е. давление равно 1 атм, а температура 290К. Значит, мы можем считать задачу решенной.

    Ответ: в данных условиях рассчитать концентрацию одного из газов можно как n1=ρ-pkTm02(m01-m02), где m01=μ1NA, m02=μ2NA.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,4 из 5 (16 голосов)