Свободные колебания. Пружинный маятник
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Свободные колебания. Пружинный маятник

    Определение 1

    Свободные колебания могут совершаться под действием внутренних сил только после выведения из положения равновесия всей системы.

    Чтобы колебания совершались согласно гармоническому закону, нужно, чтобы сила, возвращающая тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из равновесного положения и направлена в сторону, противоположную смещению.

    F(t)=ma(t)=-mω2x(t).

    Соотношение говорит о том, что ω является частотой гармонического колебания. Данное свойство характерно для упругой силы в пределах применимости закона Гука:

    Fупр=-kx.

    Определение 2

    Силы любой природы, которые удовлетворяют условию, называют квазиупругими.

    То есть груз с массой m, прикрепляющийся к пружине жесткости k с неподвижным концом, изображенным на рисунке 2.2.1, составляют систему, способную совершать гармонические свободные колебания при отсутствии силы трения.

    Определение 3

    Груз, располагаемый на пружине, называют линейным гармоническим осциллятором.

    Рисунок 2.2.1. Колебания груза на пружине. Трения нет.

    Круговая частота

    Нахождение круговой частоты ω0 производится с помощью применения формулы второго закона Ньютона:

    ma=-kx=mω02x.

    Значит, получаем:

    ω0=km.

    Определение 4

    Частоту ω0 называют собственной частотой колебательной системы.

    Определение периода гармонических колебаний груза на пружине Т находится из формулы:

    T=2πω0=2πmk.

    Горизонтальное расположение системы пружина-груз, сила тяжести компенсируется силой реакции опоры. При подвешивании груза на пружину направление силы тяжести идет по линии движения груза. Положение равновесия растянутой пружины равняется:

    x0=mgk, тогда как колебания выполняются около нового равновесного состояния. Формулы собственной частоты ω0 и периода колебаний Т в вышеуказанных выражениях являются справедливыми.

    Определение 5

    При имеющейся математической связи между ускорением тела а и координатой х поведение колебательной системы характеризуется строгим описанием: ускорение является второй производной координаты тела х по времени t:

    a(t)=x(t).

    Описание второго закона Ньютона с грузом на пружине запишется как:

    ma-mx=-kx, или x¨+ω02x=0, где свободная частота ω02=km.

    Если физические системы зависят от формулы x¨+ω02x=0, тогда они в состоянии совершать свободные колебательные гармонические движения с различной амплитудой. Это возможно, так как применяется x=xmcos (ωt+φ0).

    Свободные колебания

    Определение 6

    Уравнение вида x¨+ω02x=0 получило название уравнения свободных колебаний. Их физические свойства могут определять только собственную частоту колебаний ω0 или период Т.

    Амплитуда xm и начальная фаза φ0 находят при помощи способа, который вывел их из состояния равновесия начального момента времени.

    Пример 1

    При наличии смещенного груза из положения равновесия на расстояние l и моменте времени, равном t=0, производится его опускание без начальной скорости. Тогда xm=l, φ0=0. Если груз находился в положении равновесия, то при толчке передается начальная скорость ±υ0, отсюда xm=mkυ0, φ0=±π2.

    Амплитуда xm с начальной фазой φ0 определяются наличием начальных условий.

    Рисунок 2.2.2. Модель свободных колебаний груза на пружине.

    Механические колебательные системы отличаются наличием сил упругих деформаций в каждой из них. Рисунок 2.2.2 показывает угловой аналог гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Диск располагается горизонтально и висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. Если его повернуть на угол θ, тогда возникает момент силы упругой деформации кручения Mупр:

    Mупр=-xθ.

    Данное выражение не соответствует закону Гука для деформации кручения. Величина x аналогична k жесткости пружины. Запись второго закона Ньютона для вращательного движения диска принимает вид

    Iε=Mупр=-xθ или Iθ¨=-xθ, где моментом инерции обозначается I=IC, а ε – угловое ускорение.

    Аналогично с формулой пружинного маятника:

    ω0=xI, T=2πIx.

    Применение крутильного маятника замечено в механических часах. Он получил название балансира, в котором создание момента упругих сил производится при помощи спиралевидной пружины.

    Рисунок 2.2.3. Крутильный маятник.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,2 из 5 (5 голосов)