Превращения энергии при свободных механических колебаниях

Превращения энергии при свободных механических колебаниях

    Если тело совершает свободные механические колебания, в нем происходят периодические превращения кинетической и потенциальной энергии. Чем больше оно отклоняется от положения равновесия, тем меньше его скорость и кинетическая энергия и тем больше энергия потенциальная. В точке самого большого отклонения кинетическая энергия становится нулевой, а потенциальная, напротив, максимальной. В случае, когда груз помещен на пружину, расположенную горизонтально, его потенциальной энергией становится энергия упругих деформаций этой пружины. Математический маятник использует энергию поля тяготения Земли.

    Максимальной скорости колеблющееся тело достигает при прохождении положения равновесия. Его кинетическая энергия в данный момент максимальна, а потенциальная – минимальна. Рост одной энергии происходит за счет уменьшения другой: когда растет потенциальная энергия, кинетическая уменьшается, и наоборот.

    Определение 1

    Когда тело совершает гармонические колебания, кинетическая энергия время от времени превращается в потенциальную, и наоборот.

    Рисунок 2.4.1. Моделирование превращений энергии при гармонических колебаниях.

    При условии отсутствия трения в колебательной системе его полная механическая энергия в процессе свободных колебаний сохраняется в неизменности.

    Найти энергию груза, помещенного на пружину, можно с помощью следующих формул:

    E=Ek+Ep=mυ22+kx22, ω02=km,(Ep)max=kxm22, (Ek)max=mυm22=mω02xm22=(Ep)max.

    Для математического маятника, совершающего малые колебания, будут верны следующие расчеты:

    E=Ek+Ep=mυ22+mgh=mυ22+mgx22l, ω02=gl,(Ep)max=mghm=mgxm22l, (Ek)max=mυm22=mω02xm22=(Ep)max.

    Параметр hm означает максимальную высоту подъема маятника, находящегося в поле тяготения Земли, а xm и υm=ω0xm являются максимальными значениями отклонений маятника от равновесия и его скорости.

    Попробуем создать графическую иллюстрацию превращений энергии при гармонических колебаниях без учета силы трения. Возьмем груз, закрепленный на пружине k, масса которого составляет m. Процесс смещения груза из равновесного положения и его скорость будут изменяться в соответствии со следующим законом:

    x(t)=xmcos (ω0t), где ω02=km,

    υ(t)=-ωxmsin (ω0t).

    Отсюда мы можем вывести, что:

    Ep(t)=12kx2=12kxm2 cos2ω0t=14kxm2(1+cos 2ω0t),

    Ek(t)=12mυ2=12kω02xm2 sin2ω0t=14kxm2(1-cos 2ω0t).

    На иллюстрации показаны графики двух функций – Ep(t) и Ek(t). В течение всего периода колебаний оба вида энергии – потенциальная и кинетическая – достигают максимума дважды, а сумма Ep(t)+Ek(t)=E=const остается неизменной.

    Рисунок 2.4.2 Схема превращения энергии при гармонических колебаниях.

    Связь сил трения с затухающими колебаниями в системе

    В действительности на любую колебательную систему неизбежно воздействуют силы сопротивления (трения), из-за чего часть механической энергии становится внутренней энергией теплового движения молекул и атомов, а колебания постепенно затухают.

    Рисунок 2.4.3. Процесс затухания колебаний под воздействием сил трения.

    Иными словами, скорость затухания колебания зависит от силы трения.

    Определение 2

    Время затухания – это временной интервал, за который амплитуда колебания уменьшается в e2,7 раз.

    Также существует зависимость между частотой свободных колебаний и скоростью их затухания. Воздействие сил трения уменьшает собственную частоту, что, однако, становится заметным только тогда, когда эти силы достаточно велики и затухание колебаний происходит быстро.

    Понятие добротности колебательной системы

    У колебательной системы, совершающей свободные затухающие колебания, существует такая важная черта, как добротность.

    Определение 3

    Добротность – это свойство системы, совершающей свободные колебания, определяемое как число полных колебаний за время их затухания, умноженное на π.

    Q=πN=πτT.

    Чем медленнее затухают механические свободные колебания, тем выше показатель добротности системы. Значение этого параметра для системы, изображенной на рисунке выше, составляет приблизительно 15 единиц.

    Показатель добротности может измеряться сотнями и тысячами. Само по себе это понятие заключает в себе глубокий смысл. Добротность может быть определена следующим энергетическим соотношением:

    Q=2πЗапас энергии в колебательной системеПотеря энергии за 1 период колебаний.

    Иначе говоря, с помощью добротности можно охарактеризовать, какие убытки энергии происходят в системе из-за трения в течение определенного интервала времени (одного периода колебаний).

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,5 из 5 (5 голосов)