Гармонические колебания

Гармонические колебания

    Определение 1

    Техника и окружающий мир являются примерами того, что существуют такие процессы, которые повторяются через определенные промежутки времени, то есть периодически. Их называют колебательными.

    Колебательные движения. Формулы

    Такие движения относят к явлениям с разной физической природой с подчинением общим закономерностям. Запись колебания тока в электрической цепи и математического маятника производится одним и тем же уравнением. Различная природа колебательных движений позволяет рассматривать их с единой точки зрения, исходя из общности закономерностей.

    Определение 2

    Механические колебания – это периодические или непериодические изменения физической величины, описывающей механическое движение (скорость, перемещение и так далее).

    Когда в заданной среде атомы располагаются очень близко или молекулы испытывают силовое воздействие, наблюдается возбуждение механических колебаний. Это говорит о том, что процесс будет иметь конечную скорость, зависящую от свойств среды, которая распространяется от точки к точке. Так возникают механические волны. Явный пример – звуковые волны в воздухе.

    Волновые процессы и колебания разной природы имеют много общего, а их распространение может быть описано аналогичными математическими уравнениями. Это подтверждает единство материального мира.

    Гармонические колебания. Определение

    В механике предусмотрено движение поступательно, вращательно и с наличием колебаний.

    Определение 3

    Механические колебания – это движения тел, которые повторяются точно или приблизительно за определенные одинаковые временные промежутки.

    Функция x=f(t) объясняет закон движения тела с наличием колебаний. При графическом изображении дается представление о протекании колебательного процесса во времени. Рисунок 2.1.1 наглядно показывает принцип простых колебательных систем груза на пружине или математического маятника.

    Рисунок 2.1.1. Механические колебательные системы.

    Механические колебания подразделяют на свободные и вынужденные.

    Определение 4

    Действия внутренних сил системы после выведения из равновесия порождают свободные колебания. Примером могут служить колебания груза на пружине или маятника. Если их действие происходит под воздействием внешних сил, тогда их называют вынужденными.

    Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания, которые описываются уравнением x=xmcos (ωt+φ0), где x– смещение тела от положения равновесия, xm – амплитуда колебаний, ω– циклическая или круговая частота, t – время.

    Величина, располагаемая под знаком косинуса, получила название фазы гармонического процесса: φ=ωt+φ0. Если t=0, φ=φ0, тогда φ0 рассматривается в качестве начальной фазы.

    Период колебаний Т – это минимальный промежуток времени, через который происходят повторения движения тела. Величина, обратная периоду колебаний, называют частотой колебаний f=1T.

    Частота гармонических колебаний показывает их количество, совершаемое за единицу времени, измеряемая в герцах (Г). Связь с циклической частотой ω и периодом T выражается с помощью формулы:

    ω=2πf=2πT.

    Рисунок 2.1.2 показывает гармонические колебания тел с разными положениями тел. Данный эксперимент наблюдается в специальных условиях при наличии периодических вспышек освещения, называемого стробоскопическим. Для изображения векторов скорости тела в разные моменты времени используют стрелки.

    Рисунок 2.1.2. Стробоскопическое изображение гармонических колебаний. Начальная фаза φ0=0. Интервал времени между последовательными положениями тела τ = T12.

    На графике 2.1.3. показаны изменения, происходящие во время гармонического процесса, при изменении амплитуды колебаний xm, или периода Т (частоты f), или начальной фазы φ0.

    Рисунок 2.1.3. Во всех трех случаях для синих кривых φ0=0: a – красная кривая отличается от синей только большей амплитудой (x'm>xm); b – красная кривая отличается от синей только значением периода (T'=T2); с – красная кривая отличается от синей только значением начальной фазы  φ0'=-π2 рад.

    Гармонический закон

    Если колебания совершаются вдоль прямой Ох, тогда направление вектора скорости аналогично. Определение скорости движения тела υ=υx определяют из выражения υ=xt; t0.

    Отношение xt при t0 математика трактует как вычисление производной функции x(t) за определенное время t. Обозначение принимает вид dx (t)dt, x'(t) или x˙.

    Гармонический закон движения записывается в качестве x=xmcos (ωt+φ0). После вычисления производной формула приобретает вид:

    υ=x˙(t)=-ωxmsin (ωt+φ0)=ωxmcos ωt+φ0+π2.

    Слагаемое +π2 считают изменением начальной фазы. Достижение максимального значения скорости по модулю υ=ωxmпроизводится при прохождении тела через положение равновесия, то есть x=0. Аналогично определяют ускорение a=ax. Тогда a=υt, t0. Отсюда следует, что a равняется производной функции υ(t) за время t или второй производной функции x(t). Подставив выражения, получим

    a=υ˙(t)=x¨(t)=-ω2xmcos (ωt+φ0)=-ω2x(t).

    Наличие отрицательного знака указывает на то, что ускорение a(t) имеет противоположный смещению x(t) знак. Исходя из второго закона Ньютона, сила, которая заставляет совершать колебательные движения, направляется в сторону положения равновесия x=0.

    На рисунке 2.1.4 изображены графики, где имеются зависимости скорости, ускорения, совершающие гармонические колебания.

    Рисунок 2.1.4. Графики координаты x (t), скорости υ (t) и ускорения a (t) тела, совершающего гармонические колебания.

    Рисунок 2.1.5. Модель гармонических колебаний.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    5,0 из 5 (5 голосов)