Поле элементарного тока и элементарный ток в магнитном поле
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Поле элементарного тока и элементарный ток в магнитном поле

    Определение 1

    Элементарный замкнутый ток называют линейным, который обтекает поверхность с бесконечно малыми линейными размерами.

    Поле элементарного тока

    Ранее была получена формула для нахождения векторного потенциала магнитного поля элементарного тока:

    Ar=μ04πpm×rr3 (1), где pm является магнитным моментом элементарного тока, r – радиус-вектором от витка с током до точки, в которой рассматривается поле.

    Применив выражение (1) с определением векторного магнитного потенциала (2), получим:

    B=rotA (2).

    Используя операцию rot для формулы (1), которая определяет магнитную индукцию элементарного замкнутого тока, имеем:

    B=μ04π3pm·rrr5-pmr3 (3).

    Элементарный ток в магнитном поле. Контур с током в однородном магнитном поле

    Следует выявить характер поведения элементарного тока при его помещении во внешнее магнитное поле. Допустим, что поле однородно, то есть B=const. На такой контур будет действовать сила Ампера, вычисляемая в соответствии с законом, тогда:

    F=I dlB=Idl×B (4), где сила тока и вектор магнитной индукции были вынесены за знак интеграла по причине их постоянства. Формула содержит векторное произведение, тогда значение интеграла dl=0 (5).

    Уравнение (5) справедливо для контуров любой формы и при любом его расположении относительно направления линий поля. Следовательно, однородное магнитное поле содержит результирующую силу, равную нулю (F=0, при B=const).

    Значение вращающего момента M, создаваемого силами, приложенными к контуру относительно некоторой точки O, однородного магнитного поля равняется:

    M=pmB (6), где pm=IS=ISn является магнитным моментом элементарного контура, n – положительной нормалью к контуру. Тогда модуль M будет иметь вид:

    M=pmBsin a (7), где a – угол между векторами pm и B.

    При условии pmB магнитных сил, действующих на отдельные участки контура, не пытающихся повернуть или сдвинуть его, производят растягивание контура в плоскости. Случай pmB говорит о сжатии контура с током в магнитном поле.

    Для увеличения угла между векторами индукции магнитного поля и вектором магнитного момента элементарного тока на da должна совершиться работа против сил магнитного поля, которая равняется:

    dA=Mda=pmBsinada (8).

    Работа (8) выполняется на увеличении потенциальной энергии Wpmeh, которой обладает контур с током в магнитном поле:

    dWpmeh=pmBsina da (9).

    После нахождения интеграла (9) получаем:

    Wpmeh=-pmBcosa+const (10).

    Если предположить, что в (10) const=0, то:

    Wpmeh=-pmBcos a=-pmB (11).

    При параллельном ориентировании векторов pm и B получаем минимум потенциальной энергии, иначе говоря, положение устойчивого равновесия. Wpmeh является не полной потенциальной энергией контура с током, а только ее частью, обусловленной вращательным моментом.

    Пример 1

    Найти работу А, которая должна быть совершена внешними силами для поворота контура с током относительно его оси, проходящей через середину его противоположных сторон на угол π2. При наличии в нем постоянного тока I контур легко устанавливается в магнитном поле с индукцией В. Значение стороны квадрата равно a.

    Решение

    Для вычисления механического момента, действующего на контур, необходимо использовать формулу:

    M=pmBsin a (1.1), где a является углом между векторами pm и B. Из условия следует, что контур с имеющейся силой тока находится в равновесии в поле с индукцией. Это говорит о значении момента силы, действующего на контур, равного нулю: pmB, a=0.

    Если задействовать внешнюю силу на контур, то ее работа по повороту контура на угол da будет равняться:

    dA=Mda (1.2).

    Произведем подстановку выражения (1.1) в (1.2) с pm=IS=Ia2:

    dA=Ia2Bsinada (1.3).

    От (1.3) возьмем интеграл с условием 0aπ2, тогда:

    A=0π2Ia2Bsinada=Ia2B0π2sinada=Ia2B.

    Ответ: A=Ia2B.

    Пример 2

    Система имеет два одинаковые контуры с током, как показано на рисунке 1. Их магнитные моменты равняются pm и считаются взаимно перпендикулярными. Найти значение механического момента, действующего на контур (2), при известном между ними расстоянием d. Контуры считать элементарными токами.

    Рисунок 1

    Решение

    Создание магнитного поля происходит благодаря элементарному току (1), индукцию которого находят по формуле:

    B=μ04π3pm·rrr5-pmr3 (2.1).

    Если учесть значение расстояния между контурами d и угол между векторами pm и r, равный нулю, то возможно преобразование выражения (2.1). Его запись по модулю примет вид:

    B=μ04π3pmd3-pmd3=μ0pm2πd3 (2.2).

    Вычисление механического момента, действующего на элементарный ток (2), производится с использованием формулы:

    M=pmBsin a (2.3), где угол a=π2.

    Произведем подстановку для В (2.2) в (2.3):

    M=pmμ0pm2πd3=μ0pm22πd3.

    Ответ: M=μ0pm22πd3.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,4 из 5 (5 голосов)