Скорость и ускорение в сферических координатах

Скорость и ускорение в сферических координатах

    Движение в пространстве может быть задано, если известен закон изменения трех декартовых координат x, y, z в качестве функции времени.

    Определение 1

    Имеются случаи, когда перемещение материальной точки не может быть описано с помощью уравнения движения в декартовых координатах, так как запись становится громоздкой. Тогда следует выбирать три независимые скалярные параметра q1, q2, q3, называемые криволинейными (обобщенными) координатами, которые способны четко определить положение точки в пространстве.

    Вектор скорости

    Определение точки М во время задания ее движения в криволинейных координатах возможно в виде векторной суммы составляющих скоростей, параллельных координатным осям:

    υ=drdt=rq1q˙1+rq2q˙2+rq3q˙3=υq1e1¯+υq2e2¯+υq3e3¯.

    Запись проекции вектора скорости на соответствующие координаты оси примет вид:

    υqi=υ¯·ei¯=Hiqi˙, i=1,3.

    Определение 2

    Hi=rqiM является параметром, называющимся i - м коэффициентом Ламе и равняющимся значению модуля частной производной от радиус-вектора точки по i - ой криволинейной координате, которая была вычислена в данной точке М.

    Направление каждого из векторов ei соответствует направлению движения точки конца радиус-вектора ri при возрастании i - й обобщенной координаты.

    Определение 3

    Расчет модуля скорости в ортогональной криволинейной системе координат рассчитывается по формуле:

    υ=υq12+υq22+υq32=H12q˙12+H22q˙22+H32q˙32.

    Чтобы вычислить текущее положение точки М, необходимо найти производные и коэффициенты Ламе приведенных формул в пространстве.

    В сферической системе координат координатами точки являются скалярные параметры r, φ, θ, отсчитываемые так, как изображено на рисунке 1.

    Рисунок 1. Вектор скорости в сферической системе координат

    Ускорение системы

    Составленная система уравнений движения точки запишется как:

    r=r (t)φ=φ (t)θ=θ (t).

    Определение 4

    На рисунке 1 показаны радиус-вектор, проведенный из начала координат, углы φ и θ, координатные линии, оси рассматриваемой системы в произвольной точке М траектории.

    Расположение координатных линий (φ) и (θ) идет на поверхности сферы радиусом r. Данная система получила название ортогональной.

    Выражение декартовых координат возможно через сферические:

    x=rcosφsinθ; y=rsinφcosθ; z=rcosθ.

    Отсюда следует, что коэффициенты Ламе Hr=1; Hφ=rsin φ; H0=r, проекции скорости точки на оси сферической системы координат υr=r˙; υθ=rθ˙; υφ=rφ˙sin θ, а модуль вектора скорости υ=υr2+υφ2+υθ2=r˙2+r2φ˙2+r2θ˙2.

    Запись ускорения в сферических координатах примет вид:

    a=arer+aφeφ+aθeθ.

    А проекции ускорения точки:

    ar=r˙-rθ˙2+φ˙2sin2φ; aφ=rφ¨sin φ+2rφ˙(sin θ+θ˙cos θ);aθ=rθ¨-rφ˙2sinθcosθ+2r˙θ˙.

    Изображение модуля ускорения будет равняться a=ar2+aφ2+aθ2.

    Пример 1

    Задана точка, которая производит движение по линии пересечения сферы и цилиндра по уравнению r=R, φ=kt2, θ=kt2, где r, φ, θ являются сферическими координатами.

    Произвести поиск модуля и проекции скорости точки на оси сферической системы координат.

    Решение

    Необходимо найти проекции вектора скорости на оси сферических координат.

    Получим:

    υr=r˙=0; υφ=rφ˙sin θ=Rk2sinkt2; υθ=rθ˙=Rk2.

    Определяем модуль скорости:

    υ=υr2+υφ2+υθ2=Rk2sin2kt2+1.

    Пример 2

    Применив условие предыдущего задания, определить модуль ускорения точки.

    Решение

    Произведем нахождение проекции вектора ускорения на оси сферических координат.

    Получаем, что:

    ar=r˙-rθ˙2+φ˙2sin2φ=Rk241+sin2kt2;aφ=rφ¨sin φ+2rφ˙sin θ+θ˙cos θ=-Rk22sinkt2;aθ=rθ¨-rφ˙sinθcosθ+2r˙θ˙=-Rk24sinθcoskt2.

    Далее определим модуль ускорения: a=ar2+aφ2+aθ2=Rk244+sin2kt2.

    Ответ: a=Rk244+sin2kt2

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,8 из 5 (11 голосов)