Законы сложения сил в механике

Законы сложения сил в механике

    При воздействии на одно тело нескольких сил одновременно тело начинает двигаться с ускорением, являющимся векторной суммой ускорений, которые бы возникли под воздействием каждой силы по отдельности. К действующим на тело силам, приложенным к одной точке, применяется правило сложения векторов.

    Определение 1

    Векторная сумма всех сил, одновременно воздействующих на тело, это сила равнодействующая, которая определяется по правилу векторного сложения сил:

    R=F1+F2+F3+...+Fn=i=1nFi.

    Равнодействующая сила действует на тело также, как и сумма всех действующих на него сил.

    Правило параллелограмма и правило многоугольника

    Определение 2

    Для сложения 2-х сил используют правило параллелограмма (рисунок 1).

    Рисунок 1. Сложение 2-х сил по правилу параллелограмма

    Выведем формулу модуля равнодействующей силы с помощью теоремы косинусов:

    R=F12+F22+2F12F22cos α

    Определение 3

    При необходимости сложения более 2-х сил используют правило многоугольника: от конца
    1-й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 2-й силе; от конца 2-й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 3-й силе и т.д.

    Рисунок 2. Сложение сил правилом многоугольника

    Конечный вектор, проведенный от точки приложения сил в конец последней силы, по величине и направлению равняется равнодействующей силе. Рисунок 2 наглядно иллюстрирует пример нахождения равнодействующей сил из 4-х сил: F1, F2, F3, F4. Причем суммируемые векторы совсем необязательно должны быть в одной плоскости.

    Результат действия силы на материальную точку будет зависеть только от ее модуля и направления. У твердого тела есть определенные размеры. Потому силы с одинаковыми модулями и направлениями вызывают разные движения твердого тела в зависимости от точки приложения.

    Определение 4

    Линией действия силы называют прямую, проходящую через вектор силы. 

    Рисунок 3. Сложение сил, приложенных к различным точкам тела

    Если силы приложены к различным точкам тела и действуют не параллельно по отношению друг к другу, тогда равнодействующая приложена к точке пересечения линий действия сил (рисунок 3). Точка будет находиться в равновесии, если векторная сумма всех сил, действующих на нее, равняется 0: i=1nFi=0. В данном случае равняется 0 и сумма проекций данных сил на любую координатную ось.

    Разложение вектора силы по направлениям

    Определение 5

    Разложение сил на две составляющие – это замена одной силы 2-мя, приложенными в той же точке и производящими на тело такое же действие, как и эта одна сила. Разложение сил осуществляется, как и сложение, правилом параллелограмма.

    Задача разложения одной силы (модуль и направление которой заданы) на 2, приложенные в одной точке и действующие под углом друг к другу, имеет однозначное решение в следующих случаях, когда известны:

    • направления 2-х составляющих сил;
    • модуль и направление одной из составляющих сил;
    • модули 2-х составляющих сил.
    Пример 1

    Необходимо разложить силу F на 2 составляющие, находящиеся в одной плоскости с F и направленные вдоль прямых a и b (рисунок 4). Тогда достаточно от конца вектора F провести 2 прямые, параллельные прямым a и b. Отрезок FA и отрезок FB изображают искомые силы.

    Рисунок 4. Разложение вектора силы по направлениям

    Пример 2

    Второй вариант данной задачи – найти одну из проекций вектора силы по заданным векторам силы и 2-й проекции (рисунок 5 а ).

    Рисунок 5. Нахождение проекции вектора силы по заданным векторам

    Во втором варианте задачи необходимо построить параллелограмм по диагонали и одной из сторон, как в планиметрии. На рисунке 5 б изображен такой параллелограмм и обозначена искомая составляющая F2 силы F.

    Итак, 2-й способ решения: прибавим к силе силу, равную -F1 (рисунок 5 в). В итоге получаем искомую силу F.

    Пример 3

    Три силы F1=1 Н; F2=2 Н; F3= 3 Н приложены к одной точке, находятся в одной плоскости (рисунок 6 а) и составляют углы с горизонталью α=0°; β=60°; γ=30° соответственно. Необходимо найти равнодействующую силу.

    Решение

    Рисунок 6. Нахождение равнодействующей силы по заданным векторам

    Нарисуем взаимно перпендикулярные оси ОХ и OY таким образом, чтобы ось ОХ совпадала с горизонталью, вдоль которой направлена сила F1. Сделаем проекцию данных сил на координатные оси (рисунок 6 б). Проекции F2y и F2x отрицательны. Сумма проекций сил на координатную ось ОХ равняется проекции на данную ось равнодействующей: F1+F2cosβ-F3cosγ=Fx=4-332-0,6 Н.

    Точно также для проекций на ось OY: -F2sin β+F3sin γ=Fy=3-232-0,2 Н.

    Модуль равнодействующей определим с помощью теоремы Пифагора:

    F=Fx2+Fy2=0,36+0,040,64 Н.

    Направление равнодействующей найдем при помощи угла между равнодействующей и осью (рисунок 6 в):

    tg φ=FyFx=3-234-330,4.

    Пример 4

    Сила F=1 кН приложена в точке В кронштейна и направлена вертикально вниз (рисунок 7 а). Необходимо найти составляющие данной силы по направлениям стержней кронштейна. Все необходимые данные отображены на рисунке.

    Решение

    Рисунок 7. Нахождение составляющих силы F по направлениям стержней кронштейна

    Дано:

    F=1 кН=1000 Н

    Пускай стержни прикручены к стене в точках А и С. На рисунке 7 б изображено разложение силы F на составляющие вдоль направлений АВ и ВС. Отсюда понятно, что

    F1=Ftg β577 Н;

    F2=Fcos β1155 Н.

    Ответ: F1=557 Н; F2=1155 Н.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,5 из 5 (20 голосов)