Принципиальные методы измерения напряженности

Пусть задан шар, имеющий равномерную заряженность (объемная плотность $\rho$). Пусть в заданном шаре создана небольшая сферическая полость с центром $O\text{'}$. Центр созданной полости расположен на расстоянии $b$ от центра заданного диэлектрического шара $О$. Необходимо определить напряженность поля в центре полости.

Решение

Рисунок $3$

Чтобы найти поле в полости, применим теорему Остроградского - Гаусса совместно с принципом суперпозиции. Определять поле будем в точке $O\text{'}$, для чего создадим гипотетическую сферу, имеющую радиус $b$ и центр в точке $О$. Запишем выражение для нахождения потока вектора электрического смещения сквозь поверхность данной сферы:

${\Phi }_D={\oint }_{S}DdS=q$, где $q=\frac{4}{3}\pi b^3\rho , S=4\pi b^2$. Для поля шара присуща сферическая симметрия, тогда из выражения ${\Phi }_D={\oint }_{S}DdS=q$ запишем:

$DS=D4\pi b^2=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi b}}^3\mathrm{\rho }\to \mathrm{D}=\frac{\mathrm{b\rho }}{3}$.

Поляризационные заряды в полости создадут поле $\overrightarrow{D\text{'}}$; согласно принципу суперпозиции итоговое поле в точке $O\text{'}$ определяется как:

$\overrightarrow{D_{O\text{'}}}=\overrightarrow{D}+\overrightarrow{D\text{'}}$.

Полость не имеет свободных зарядов, тогда, согласно теореме Остроградского-Гаусса:

$\overrightarrow{D\text{'}}=0$.

Граничные условия определяют тот факт, что нормальная составляющая вектора электрического смещения при переходе через границу раздела диэлектриков неизменна. Таким образом:

$D_{1n}=D_{2n}$.

Резюмируя все наши рассуждения, сделаем запись выражения для поля внутри полости:

$\overrightarrow{D_{O\text{'}}}=D=\frac{b\rho }{3}$.

Напряженность поля в полости определится как:

$\overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{b}\rho }{3{\epsilon }_0}$.

Ответ: поле в полости $\overrightarrow{D_{O\text{'}}}=\frac{b\rho }{3}, \overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{b}\rho }{3}$, где $\overrightarrow{b}$ является вектором, соединяющим точки $O$ и $O\text{'}$.

Задана бесконечно длинная цилиндрическая полость, расположенная в бесконечно длинном цилиндре, который равномерно заряжен по объему ($\rho$ – плотность заряда) и имеет радиус $R$. Оси цилиндра и полости параллельны и удалены на некоторое расстояние друг от друга. Необходимо определить напряженность электрического поля на оси полости.

Решение

Рисунок 4

Чтобы определить поле в полости, применим теорему Остроградского – Гаусса совместно с принципом суперпозиции. Чтобы найти поле цилиндра на прямой, где должна находиться ось полости, создадим гипотетическую цилиндрическую поверхность радиуса $a$ с осью, совпадающей с осью основного цилиндра. Запишем выражение для потока вектора электрического смещения сквозь поверхность заданного цилиндра:

${\Phi }_E={\oint }_{S}DdS=q$, где $q=\pi a^{2}h\rho , S=2\pi a\mathrm{h }$($h$ является высотой цилиндра).

Для поля шара присуща цилиндрическая симметрия, тогда из выражения ${\Phi }_D={\oint }_{S}DdS=q$ запишем:

$DS=D2\pi ah=\pi a^{2}h\rho \to D=\frac{a\rho }{2}$.

Поляризационные заряды в полости создадут поле $\overrightarrow{D\text{'}}$; согласно принципу суперпозиции итоговое поле на оси полости определяется как:

$\overrightarrow{D_{O\text{'}}}=\overrightarrow{D}+\overrightarrow{D\text{'}}$.

Полость не имеет свободных зарядов, тогда, согласно теореме Остроградского-Гаусса:

$\overrightarrow{D\text{'}}=0$.

Граничные условия определяют тот факт, что нормальная составляющая вектора электрического смещения при переходе через границу раздела диэлектриков неизменна. Таким образом:

$D_{1n}=D_{2n}$.

Резюмируя все наши рассуждения, сделаем запись выражения для поля внутри полости:

$D_{O\text{'}}=\frac{a\rho }{2}$.

Напряженность поля в полости определится как:

$\overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{a}\rho }{2{\epsilon }_0}$.

Ответ: $\overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{a}\rho }{2{\epsilon }_0}$.