Потенциальность электростатического поля

Потенциальность электростатического поля

    Определение 1

    Потенциальное (консервативное) поле − это поле, в котором работа при перемещении зависит только лишь от конечной и начальной точки пути и не зависит от траектории движения тела.

    Что такое потенциальное поле

    Есть и другое абсолютно равнозначное определение потенциальности поля (консервативной силы).

    Определение 2

    Поле называется потенциальным, если при перемещении по любому замкнутому контуру работа сил поля равняется 0.

    Известно, что сила гравитации FG~1r2, которая убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, является потенциальной, при этом ее потенциальность обусловлена именно обратно пропорциональной зависимостью от расстояния. Сила Кулона тоже обратно пропорциональна квадрату расстояния. Напомним закон Кулона FE~1r2. Все математическое описание потенциала создавалось при изучении сил гравитации. Понятие о потенциале появилось в работах Ж. Л. Лагранжа в 1777 году. Определение «потенциал» было введено в науку намного позже Дж. Грином и К. Ф. Гауссом.

    Определение 3

    На основе принципа суперпозиции из потенциальности поля точечного заряда следует потенциальность произвольного электростатического поля.

    Доказательство 1

    Легко докажем это математически. Циркуляция вектора напряженности поля точечного заряда Ei по любому замкнутому контуру равняется 0:

    LEids=0.

    Если поле создает N точечных зарядов, тогда по принципу суперпозиции результирующее поле находим как:

    E=iEi.

    Находим интеграл:

    LEds=LiEids=iLEids=i0=0.

    Приведенный выше критерий потенциальности поля не дифференциален, поэтому его трудно применять. Нужно проверять равенство 0 работы по замкнутому контуру. А это означает, что необходимо анализировать бесконечное число циклов, что, в конечном итоге, невозможно. Критерий потенциальности применим лишь в случае, когда известна аналитическая формула работы, что не всегда возможно. Поэтому нужно отыскать другой критерий потенциальности поля, который был бы прост в применении. Данным критерием является дифференциальная формулировка. Она определяется при помощи понятия ротор вектора rot A.

    Что такое ротор. Практические задачи

    Определение 4

    Ротор − это вектор, проекция которого на направление единичного вектора n определяется таким образом:

    rotnA=limS0A·dsS,

    где S − это площадь, которая лежит в плоскости перпендикулярной к n, ограниченная малым контуром L, на контуре L − это направление положительного обхода связано с n правилом правого винта.

    Замечание 1

    Обращаем внимание, что в формуле большой буквой S обозначена площадь, а маленькой буквой s − линейное перемещение.

    Ротор описывает интенсивность «завихрения» вектора. На практике при вычислении ротора применяют следующие формулы:

    rot A=×A=ijkxyzAxAyAk.

    Независимость работы от пути перемещения заряда в электростатическом поле выражается формулой:

    AL1BE·ds=AL2BE·ds.

    где L1 и L2− это различные пути между точками А и В. При замене местами пределов интегрирования получаем:

    AL2BE·ds=-BL2AE·ds.

    Выражение AL1BE·ds=AL2BE·ds представим в виде:

    AL1BE·ds=BL2AE·ds=LE·ds=0.

    где L=L1+L2. Применяем формулу Стокса:

    Srot A·dS=LA·ds,

    к уравнению выше, получаем:

    LE·ds=Srot E·dS=0,

    где S− это поверхность, ограниченная контуром L. Поскольку поверхность произвольная, то интеграл в выражении LE·ds=Srot E·dS=0 может равняться 0, только если равняется 0 подынтегральное выражение, а поскольку dS0 то есть:

    Определение 5

    rot E=0.

    Это дифференциальная формулировка потенциальности электростатического поля.

    Пример 1

    Необходимо найти rotn υ для точек оси вращения, если υ − это вектор скорости точек твердого тела, вращающегося с угловой скоростью ω вокруг оси коллинеарной n

    Решение

    Рисунок 1

    В качестве контура L выберем окружность радиусом R с центром на оси вращения, перпендикулярную оси (рисунок 1). Известно, что:

    υ=ωR,S=πR2.

    Обозначим υds. ds как скалярное значение элемента окружности. Для этого используем формулу определения ротора, получаем:

    rotn υ=limR0ωR·dsπR2=limR0ωR2πRπR2=2ω,

    где ds=2πR − это длина окружности.

    Ответ: Ротор линейной скорости точек вращающегося тела равняется rotn υ=2ω.

    Пример 2

    Необходимо доказать, что из условия потенциальности поля следует: тангенциальные составляющие напряженности электростатического поля непрерывны.

    Решение

    Поскольку электростатическое поле потенциально, тогда выполняется равенство:

    A=LEds=0.

    Рисунок 2

    Определение 6

    Тангенциальные составляющие − это касательные к произвольной поверхности в любой ее точке. Непрерывность значит, что значения касательных составляющих напряженности одинаковы по обеим сторонам поверхности.

    Пример 3

    Допустим обратное. Пускай вдоль поверхности S (рисунок 2) непрерывности нет. Это означает, что если 1, 2 и 3, 4 разделенные поверхностью S, но бесконечно близкие друг к другу точки, тогда работа электростатических сил на пути 12 отличается на конечную величину от работы тех же сил на пути 3 4. Так как мы считаем, что отрезки 12 и 3 4 бесконечно малы, силы конечны, значит, и работа, которую выполняют электрические силы на заданных отрезках, бесконечно малая величина. Выходит, что работа на пути 12341 не должна равняться 0. То есть работа сил по перемещению пробного заряда по замкнутому контуру не равняется 0. Это невозможно, поскольку электростатическое поле потенциально. Мы показали, что тангенциальные составляющие напряженности электростатического поля не непрерывны.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,5 из 5 (18 голосов)