Пондеромоторные силы в электрическом поле
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Пондеромоторные силы в электрическом поле

    Определение 1

    Напряженность E − это основная величина, которая характеризует электрическое поле и вычисляется по формуле:

    где F − это механическая или пондеромоторная сила, действующая в этой точке поля на пробный заряд q. Причем поле образуется всеми зарядами системы, за исключением самого заряда q.

    Результирующая сила

    Большее внимание необходимо уделить вопросу о механических силах, действующих на поверхностные заряды, так как несущая напряженность поля имеет по обе стороны несущей заряд поверхности различные направления и потому на самой поверхности не определена.

    Допустим, у нас есть уединенный заряженный проводник, тогда взаимно отталкивающиеся элементы заряда проводника не могут уйти с его поверхности, в результате чего на поверхность проводника действуют пондеромоторные силы, стремящиеся его растянуть. Данные силы оказывают влияние также и на неодиночные проводники в электрическом поле. На элементарный заряд dq, находящийся на элементе поверхности dS, действует 12 напряженности поля, которое имеет проводник, поскольку
    2-я половина создается этим зарядом элемента поверхности. Так, поверхностная плотность такой силы равняется:

    где σ − это поверхностная плотность силы проводника, n − это единичный вектор внешней нормали к поверхности проводника, ε − это диэлектрическая проницаемость среды, с которой соприкасается проводник.

    Итак, на поверхности заряженного проводника сила действует в направлении внешней нормали, стремясь увеличить объем тела. Следовательно, результирующую силу можно найти таким образом:

    где S − это поверхность проводника.

    Объемные силы

    В диэлектрике объемные электростатические силы, находящиеся в состоянии равновесия, не вызывают движения элементов объема, однако пытаются изменить среду. В итоге появляются объемные силы упругости, уравновешивающие электростатические силы. Только лишь при быстром изменении полей объемные электрические силы вызывают движение элементарных объемов. Применительно к изотропным сжимаемым диэлектрикам с любой зависимостью ε от плотности массы ρm объемная плотность пондеромоторной силы f, которая действует в диэлектрике, помещенном в электрическое поле, равняется:

    Если поляризованность линейна к ρm, тогда:

    Поверхностные пондеромоторные силы

    Кроме объемных сил, в диэлектриках действуют еще и поверхностные пондеромоторные силы.

    Допустим, есть плоская граница диэлектриков, параллельная обкладкам конденсатора. Причем напряженность однородного поля перпендикулярна границе диэлектриков. Положительной нормалью будет нормаль, направленная из 1-й среды во 2-ю. Тогда поверхностная плотность силы имеет вид:

    где En, Dn=D2n=D1n − это нормальные составляющие векторов напряженности и электрической индукции. ε1, ε2 − это диэлектрические проницаемости диэлектриков. Из уравнения (4) понятно, что при ε1>ε2f>0 На границу раздела диэлектриков сила оказывает в сторону диэлектрика меньшую диэлектрическую проницаемость.

    Поверхностная плотность силы

    Поверхностная плотность силы состоит из 2-х частей, а именно:

    1. Поверхностная плотность силы f2, действующая на границу раздела диэлектриков и направленная в 1-ю среду со стороны электрического поля 2-й среды, которая вычисляется как:

    f2=12E2nD2n,

    где сила направлена по положительной нормали, условно направленной из 1-ой среды во 2-ю;

    1. Плотность силы, действующая на границу против направления положительной нормали со стороны электрического поля 1-ой среды f1:

    f1=-12E1nD1n.

    В данном случае электрические поля, находящиеся по разным сторонам границы диэлектриков, «притягивают» поверхность раздела с поверхностной плотностью силы, которая равняется объемной плотности электрической энергии, приходящейся на нормальные составляющие векторов поля.

    Пример 1

    Рассмотрим пример с диэлектриками, плоская граница между которыми находится перпендикулярно обкладкам плоского конденсатора.

    Данная поверхностная плотность силы состоит из 2-х частей, а именно:

    1. Поверхностная плотность силы f2, действующая на границу раздела диэлектриков, направленную в 1-ю среду со стороны электрического поля 2-й среды, которая вычисляется как:

    f2=-12E2τD2τ,

    в данном уравнении знак показывает, что сила направлена против положительной нормали, условно направленной из 1-й среды во 2-ю;

    1. Плотность силы, действующая на границу в направлении положительной нормали со стороны электрического поля 1-й среды f1

    f1=12E1τD1τ.

    Выходит, что электрическое поле «сдавливает» границу раздела благодаря тангенциальной составляющей поля. Поскольку E1τ=E2τ=Eτ, тогда равнодействующая сил давления равняется:

    f=-12Eτ2ε1-ε2.

    Пондеромоторные силы зачастую находят по связи между энергией электрического поля и силами, действующими на тела в данном поле.

    Пример 2

    Необходимо получить зависимость пондеромоторной силы, которая действует на диполь в каком-нибудь электрическом поле. При этом напряженность определяется вектором E, который может меняться в пространстве. Заряды диполя по модулю равны q,l − это плечо диполя.

    Решение

    Рисунок 1

    Пускай, E и E' − это напряженности поля в точках A и A', в котором находится диполь
    (рисунок 1). Вычислим равнодействующую силу F, влияющую на диполь:

    F=qE'-qE=qE'-E,

    где E'-E − это приращение вектора напряженности на отрезке AA', который равняется длине диполя (l). Поскольку l мало, тогда запишем:

    E'-E=lEl=lE.

    Подставив E'-E=lEl=lE в F=qE'-qE=qE'-E, получаем:

    F=qlE.

    Ответ: Пондеромоторная сила, оказывающая влияние на диполь в электрическом поле, зависит от скорости изменения данного поля в направлении оси диполя: F=qlE.

    Пример 3

    Две проводящие плоские пластины составляют угол α. Длина пластин, которые расположены перпендикулярно плоскости (рисунок 2), бесконечна. Между пластинами постоянная разность потенциалов равняется U. Ширина пластины b-a. Пластины не касаются в точке O. Краевые эффекты можно опустить. Также можно применить то, что поверхностная плотность заряда пластин заданного конденсатора равняется: σ=εUrα, где r − это расстояние от оси. Необходимо найти момент силы (M), который притягивает пластины конденсатора.

    Рисунок 2

    Решение

    Поверхностная плотность силы, действующая на проводник, равняется:

    f=σ22ε.

    Получается, что на слой длиной l между r и r+dr действует сила, которая равна:

    dF=-fldr=-εU22a2r2ldr,

    где σ=εUrα. Знак показывает, что сила стремится уменьшить угол между пластинами. Вычислим результирующую силу F:

    F=abdF=-εU2l2a2abdrr2=εU2l2a21b-1a=εU2l2a2·a-bab.

    Линия приложения сил находится на расстоянии r0 от оси вращения. Данное расстояние найдем из условия:

    r0F=abrfF=-εU2l2a2lnbar0=aba-blnba.

    Тогда момент силы относительно оси вращения равняется:

    M=r0F=-εU2l2a2ba.

    Ответ: M=-εU2l2a2ba.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,2 из 5 (10 голосов)