Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера

    Благодаря толкованию волн, изложенному де Бройлем, и соотношению неопределенностей Гейзенберга можно придти к тому, каким должно быть уравнение движения в рамках теории квантовой механики. Это должно быть равенство, которое описывает движения микрочастиц в силовом поле и из которого были бы видны волновые свойства частиц, наблюдаемые экспериментально. Также оно должно являться уравнением по отношению к волновой функции, поскольку вероятность, с которой частица пребывает в некоторый момент времени в объеме dV в области с координатами xyz, описывается с помощью именно этой величины. Поскольку нужное уравнение иллюстрирует волновые свойства частиц, то он должно само быть волновым уравнением (точно так же, как и уравнение, описывающее электромагнитную волну).

    История появление теории

    В 1962 г. Шредингер сформулировал положение, позже названное основным уравнением в нерелятивистской квантовой механике, или волновым уравнением Шредингера.

    Эрвин Шредингер (1887-1961, Австрия) был одним из физиков-теоретиков, которые основали квантовую механику. Он является автором трудов по статистической физике, квантовой теории, биофизике, а также общей теории относительности. Сформулировал основы теории движения микрочастиц – волновой механики (волновая теория Шредингера), а также квантовой теории возмущений (похожий метод в квантовой механике). Лауреат Нобелевской премии.

    Замечание 1

    Отличительной особенностью уравнения Шредингера является то, что оно постулируется, а не выводится. Его истинность подтверждена экспериментально, следовательно, оно может считаться законом природы.

    В наиболее общем виде его записывают так:

    -h2m2Ψ+U(x, y, z, t)Ψ=ih2Ψt2.

    Здесь m обозначает массу частицы, i2 - мнимую единицу,  – так называемый оператор Лапласа, равный 2Ψ=2Ψx2+2Ψy2+2Ψz2, Ψ – искомую волновую функцию, а выражение U (x, y, z, t) соответствует потенциальной энергии частицы в определенной точке силового поля.

    Описание движения частицы в потенциальном поле

    Если поле, в котором происходит движение частицы, является потенциальным, то функция U не будет иметь явно выраженной зависимости от времени, и ей можно придать смысл потенциальной энергии. Тогда решить уравнение Шредингера можно разделением на сомножители: один из них будет зависеть только от времени, а второй – только от координаты точки.

    Ψ(x, y, z, t)=Ψ(x, y, z)e-iEht.

    Параметр E обозначает полную энергию частицы. Если поле стационарное, то значение E остается постоянным. Подставив это значение в выражение выше, мы можем убедиться в его справедливости. При этом у нас получится формула Шредингера для стационарных состояний:

    -h22m2Ψ+UΨ=EΨ.

    2Ψ+2mh2(E-U)Ψ=0.

    Также данное выражение может быть записано в следующем виде:

    H^Ψ=EΨ.

    Преобразование уравнения выполнено с использованием оператора Гамильтона H^. Его можно найти, сложив значения операторов -h22m2+U=H^. Гамильтониан – это оператор потенциальной энергии E.

    Квантовая механика использует различные операторы также и в качестве других переменных, особенно динамических. Существуют операторы импульса, момента импульса, координат и т.д.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,6 из 5 (18 голосов)