Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Содержание:
Данная статья раскрывает вопрос о решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Будет рассмотрена теория вместе с примерами приведенных задач. Для расшифровки непонятных терминов необходимо обращаться к теме об основных определениях и понятиях теории дифференциальных уравнений.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами вида , где произвольными числами являются и , а имеющаяся функция непрерывная на интервале интегрирования .
Перейдем к формулировке теоремы общего решения ЛНДУ.
Теорема общего решения ЛДНУ
Общим решением, находящимся на интервале , неоднородного дифференциального уравнения вида с непрерывными коэффициентами интегрирования на интервале и непрерывной функцией равняется сумме общего решения , которое соответствует ЛОДУ и каким-нибудь частным решением , где исходным неоднородным уравнением является .
Отсюда видно, что решение такого уравнения второго порядка имеет вид . Алгоритм нахождения рассмотрен в статье о линейных однородных дифференциальных уравнениях второго порядка с постоянными коэффициентами. После чего следует переходить к определению .
Выбор частного решения ЛНДУ зависит от вида имеющейся функции , располагающейся в правой части уравнения. Для этого необходимо рассмотреть отдельно решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка при постоянных коэффициентах.
Когда считается за многочлен -ой степени , отсюда следует, что частное решение ЛНДУ находим по формуле вида , где является многочленом степени , – это количество нулевых корней характеристического уравнения. Значение является частным решением , тогда имеющиеся коэффициенты, которые определены многочленом
, отыскиваем при помощи метода неопределенных коэффициентов из равенства .
Вычислить по теореме Коши .
Решение
Иначе говоря, необходимо перейти к частному решению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , которое будет удовлетворять заданным условиям .
Общим решением линейного неоднородного уравнения является сумма общего решения, которое соответствует уравнению или частному решению неоднородного уравнения , то есть .
Для начала найдем общее решение для ЛНДУ, а после чего – частное.
Перейдем к нахождению . Запись характеристического уравнения поможет найти корни. Получаем, что
Получили, что корни различные и действительные. Поэтому запишем
.
Найдем . Видно, что правая часть заданного уравнения является многочленом второй степени, тогда один из корней равняется нулю. Отсюда получим, что частным решением для будет
, где значения принимают неопределенные коэффициенты.
Найдем их из равенства вида .
Тогда получим, что:
Приравняв коэффициенты с одинаковыми показателями степеней , получим систему линейных выражений . При решении любым из способов найдем коэффициенты и запишем: и .
Эта запись называется общим решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Для нахождения частного решения, которое удовлетворяет условиям , требуется определить значения и , исходя из равенства вида .
Получаем, что:
Работаем с полученной системой уравнений вида , где .
Применив теорему Коши, имеем, что
Ответ: .
Когда функция представляется в виде произведения многочлена со степенью и экспоненты , тогда отсюда получаем, что частным решением ЛНДУ второго порядка будет уравнение вида , где является многочленом -ой степени, а – количеством корней характеристического уравнения, равняющиеся .
Коэффициенты, принадлежащие находятся по равенству .
Найти общее решение дифференциального уравнения вида .
Решение
Уравнение общего вида . Указанное уравнение соответствует ЛОДУ . По предыдущему примеру видно, что его корни равняются и и по характеристическому уравнению.
Видно, что правой частью уравнения является . Отсюда ЛНДУ находится через , где , являющимся многочленом второй степени, где и , потому как у характеристического уравнения отсутствует корень, равный . Отсюда получаем, что
.
являются неизвестными коэффициентами, которые можно найти по равенству .
Получили, что
Значит
Показатели при одинаковых коэффициентах приравниваем и получаем систему линейных уравнений. Отсюда и находим :
Ответ: видно, что является частным решением ЛНДУ, а - общим решением для неоднородного дифуравнения второго порядка.
Когда функция записывается как , а и являются числами, тогда частным решением ЛНДУ считается уравнение вида , где и считаются неопределенными коэффициентами, а числом комплексно сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняющимся . В этом случае поиск коэффициентов проводится по равенству .
Найти общее решение дифференциального уравнения вида .
Решение
Перед написанием характеристического уравнения находим . Тогда
Имеем пару комплексно сопряженных корней. Преобразуем и получим:
Корни из характеристического уравнения считаются сопряженной парой , тогда . Отсюда видно, что поиск будет производиться из . Неизвестные коэффициенты и будем искать из равенства вида .
Преобразуем:
Тогда видно, что
Необходимо приравнять коэффициенты синусов и косинусов. Получаем систему вида:
Следует, что .
Ответ: общим решением исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами считается
Когда , тогда . Имеем, что – это число комплексно сопряженных пар корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняются , где и являются многочленами степени , где . Нахождение коэффициентов и производится, исходя из равенства .
Найти общее решение .
Решение
По условию видно, что
Тогда . Производим нахождение , предварительно записав характеристическое уравнение вида:
Получили, что корни являются действительными и различными. Отсюда . Далее необходимо искать общее решение, исходя из неоднородного уравнения вида
Известно, что являются коэффициентами, , потому как отсутствует пара сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению с . Данные коэффициенты находим из полученного равенства:
Нахождение производной и подобных слагаемых дает
После приравнивания коэффициентов получаем систему вида
Из всего следует, что
Ответ: теперь получено общее решение заданного линейного уравнения:
Алгоритм решения ЛДНУ
Любой другой вид функции для решения предусматривает соблюдение алгоритма решения:
- нахождение общего решения соответствующего линейного однородного уравнения, где , где и являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ, и считаются произвольными постоянными;
- принятие в качестве общего решения ЛНДУ ;
- определение производных функции через систему вида , а нахождение функций и посредствам интегрирования.
Найти общее решение для .
Решение
Переходим к написанию характеристического уравнения, предварительно записав . Запишем и решим:
Имеем, что запись общего решения заданного уравнения получит вид . Необходимо перейти к определению производных функций и по системе с уравнениями:
Необходимо произвести решение относительно и при помощи любого способа. Тогда запишем:
Каждое из уравнений следует проинтегрировать . Тогда запишем получившиеся уравнения:
Отсюда следует, что общее решение будет иметь вид:
Ответ:
Навигация по статьям